Question

Функция f(x) определена для x > 0 и такова, что f(x) + f(y) = f(xy)(x+y). Известно, что f(3) = 15. Найдите f(5).

Answer 1

Возьмем у=1. Тогда f(x)+f(1)=f(x)(x+1), откуда f(x)=f(1)/x. Значит f(3)=f(1)/3, т.е. f(1)=3f(3)=45. Итак, f(x)=45/x, откуда f(5)=45/5=9.

Answer 2

Дано, что f(x) + f(y) = f(xy)(x+y) для x > 0.

Подставим x = 3 и y = 2 в данное уравнение:

f(3) + f(2) = f(6)(3+2) 15 + f(2) = 5f(6)

Мы знаем, что f(3) = 15, поэтому можно записать:

15 + f(2) = 5f(6)

Теперь найдем f(2):

Подставим x = 2 и y = 1 в исходное уравнение:

f(2) + f(1) = f(2)(2+1) f(2) + f(1) = 3f(2)

Мы знаем, что f(2) + f(1) = f(2)(2+1), поэтому можно записать:

3f(