Question

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [-1; 3 ] y=2/3(дробь) x^3-x^2 Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-2;3 ] y=6x/x^2+1

Answer 1

Вроде так ( но это не точно )

Answer 2

Давайте начнем с первой функции:

\[y = \frac{2}{3}x^3 - x^2\]

Нам нужно найти наибольшее значение этой функции на отрезке \([-1, 3]\). Для этого найдем критические точки, где производная функции равна нулю.

\[y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}x^3 - x^2\right)\]

\[y' = 2x^2 - 2x\]

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[2x^2 - 2x = 0\]

\[2x(x - 1) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения \(x\): \(x = 0\) и \(x = 1\). Теперь проверим значения функции в этих точках и на концах интервала:

1. \(x = -1\): \(y = \frac{2}{3}(-1)^3 - (-1)^2 = -\frac{2}{3} - 1 = -\frac{5}{3}\) 2. \(x = 0\): \(y = \frac{2}{3}(0)^3 - (0)^2 = 0\) 3. \(x = 1\): \(y = \frac{2}{3}(1)^3 - (1)^2 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}\) 4. \(x = 3\): \(y = \frac{2}{3}(3)^3 - (3)^2 = 18 - 9 = 9\)

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке \([-1, 3]\) равно \(-\frac{5}{3}\), и оно достигается при \(x = -1\).

Теперь перейдем ко второй функции:

\[y = \frac{6x}{x^2 + 1}\]

Нам нужно найти наименьшее значение этой функции на отрезке \([-2, 3]\). Для этого найдем критические точки, где производная функции равна нулю.

\[y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{6x}{x^2 + 1}\right)\]

\[y' = \frac{6(x^2 + 1) - 6x(2x)}{(x^2 + 1)^2}\]

\[y' = \frac{-6x^2 + 6}{(x^2 + 1)^2}\]

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[-6x^2 + 6 = 0\]

\[x^2 = 1\]

Отсюда получаем два возможных значения \(x\): \(x = -1\) и \(x = 1\). Теперь проверим значения функции в этих точках и на концах интервала:

1. \(x = -2\): \(y = \frac{6(-2)}{(-2)^2 + 1} = -\frac{12}{5}\) 2. \(x = -1\): \(y = \frac{6(-1)}{(-1)^2 + 1} = -3\) 3. \(x = 1\): \(y = \frac{6(1)}{(1)^2 + 1} = \frac{6}{2} = 3\) 4. \(x = 3\): \(y = \frac{6(3)}{(3)^2 + 1} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}\)

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке \([-2, 3]\) равно \(-3\), и оно достигается при \(x = -1\).