Question

Исследуйте функцию на ограниченность, у=-2х^2-6х+15 Помогите пожалуйста, с объяснением если не сложно

Answer 1

Всё подробно написала в решении.

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим функцию \( u(x) = -2x^2 - 6x + 15 \) и исследуем её на ограниченность.

1. Нахождение домена: - Домен функции - это множество значений \( x \), для которых функция определена. В данном случае функция определена для всех реальных чисел, так как уравнение квадратичное и имеет корни для любых действительных \( x \).

2. Нахождение вершины параболы: - Уравнение функции представляет собой квадратичную параболу вида \( ax^2 + bx + c \), где \( a = -2 \), \( b = -6 \), и \( c = 15 \). Вершина параболы имеет координаты \( x_v = -\frac{b}{2a} \) и \( y_v = f(x_v) \). - Вычисляем: \( x_v = -\frac{-6}{2 \cdot -2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \). - Подставляем \( x_v \) в уравнение функции: \( y_v = -2 \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 6 \cdot \frac{3}{2} + 15 \).

3. Исследование на ограниченность: - Так как у функции квадратичная форма и коэффициент \( a \) отрицательный, парабола направлена вниз. Это означает, что вершина параболы является максимумом. - Если мы вычислим значение \( y_v \), то получим максимальное значение функции. Это значение будет ограниченным сверху, так как вершина параболы - максимальная точка.

Таким образом, функция \( u(x) = -2x^2 - 6x + 15 \) ограничена сверху и не имеет верхней границы. Максимальное значение функции равно \( y_v \), которое вычисляется подставлением \( x = \frac{3}{2} \).