Question

Найдите область значений функции y= 2/sin^4x+cos^4x

Answer 1

$sin^4x=(sin^2x)^2={1\over4}(1-cos2x)^2\\cos^4x=(cos^2x)^2={1\over4}(1+cos2x)^2\\\\sin^4x+cos^4x={1\over4}(2+2cos^22x)={1\over4}(2+cos4x+1)={1\over4}(cos4x+3)\\\\{2\over sin^4x+cos^4x}={8\over cos4x+3}\\\\cos4x\in[-1;1]\\\\{2\over sin^4x+cos^4x}\in[2;4]$

Answer 2

Функция y = 2/sin^4x + cos^4x имеет ограниченную область значений. Чтобы найти эту область, давайте проанализируем функцию.

Анализ функции:

Функция y = 2/sin^4x + cos^4x состоит из двух слагаемых: 2/sin^4x и cos^4x. Оба слагаемых являются положительными, так как sin^4x и cos^4x всегда неотрицательны. Поэтому, чтобы найти область значений функции, мы можем рассмотреть каждое слагаемое отдельно.

Область значений первого слагаемого:

Функция 2/sin^4x имеет область значений от 2 до плюс бесконечности. Это связано с тем, что sin^4x всегда положительно или равно нулю, а 2 является константой. Таким образом, область значений первого слагаемого - все положительные числа, начиная с 2.

Область значений второго слагаемого:

Функция cos^4x имеет область значений от 0 до 1. Это связано с тем, что cos^4x всегда неотрицательно и не превышает 1. Таким образом, область значений второго слагаемого - все числа от 0 до 1 включительно.

Область значений функции:

Область значений функции y = 2/sin^4x + cos^4x будет пересечением областей значений первого и второго слагаемых. Таким образом, область значений функции будет состоять из всех положительных чисел, начиная с 2, и чисел от 0 до 1 включительно.

Ответ:

Область значений функции y = 2/sin^4x + cos^4x состоит из всех положительных чисел, начиная с 2, и чисел от 0 до 1 включительно.