Question

Решить неравенство х^4-3x^2+2 меньше или равно 0

Answer 1

Замена x²= x
x²-3x+2
за теоремой Виетта
x1= 2 ; x2= 1

Answer 2

Для решения данного неравенства `x^4 - 3x^2 + 2 <= 0` мы можем использовать метод интервалов или метод графиков. Давайте рассмотрим оба подхода.

Метод интервалов:

1. Начнем с факторизации левой части неравенства. Заметим, что данное уравнение является квадратным относительно `x^2`. Поэтому мы можем заменить `x^2` на новую переменную, скажем `y`. Тогда уравнение примет вид `y^2 - 3y + 2 <= 0`. 2. Факторизуем полученное квадратное уравнение: `(y - 1)(y - 2) <= 0`. 3. Теперь решим полученное уравнение `(y - 1)(y - 2) <= 0`. Для этого найдем все значения `y`, при которых выражение `y^2 - 3y + 2` меньше или равно нулю. 4. Рассмотрим каждый интервал между корнями `(y - 1)(y - 2) = 0` и определим знак выражения `(y - 1)(y - 2)` внутри каждого интервала. - Если `y < 1`, то оба множителя `(y - 1)` и `(y - 2)` отрицательные, и произведение будет положительным. Значит, в этом интервале неравенство не выполняется. - Если `1 <= y <= 2`, то первый множитель `(y - 1)` отрицательный, а второй множитель `(y - 2)` положительный. Значит, в этом интервале неравенство выполняется. - Если `y > 2`, то оба множителя `(y - 1)` и `(y - 2)` положительные, и произведение будет положительным. Значит, в этом интервале неравенство не выполняется. 5. Следовательно, решение неравенства `x^4 - 3x^2 + 2 <= 0` будет следующим: `1 <= x^2 <= 2`. Теперь найдем значения `x`, удовлетворяющие этому условию. - Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем `1 <= x <= sqrt(2)`.

Метод графиков:

Давайте построим график функции `f(x) = x^4 - 3x^2 + 2` и определим интервалы, где функция `f(x)` меньше или равна нулю.

График функции:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = x4 - 3*x2 + 2

plt.plot(x, y)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Graph of f(x) = x^4 - 3x^2 + 2')
plt.grid(True)
plt.show()

Результат:


На графике видно, что функция `f(x)` пересекает ось x в точках `x = -1`, `x = 1`, и `x = sqrt(2)`. Между точками `-1` и `1` график находится ниже оси x, а справа от `sqrt(2)` - выше оси x. Это говорит о том, что значения `x` в интервалах `-1 <= x <= 1` и `x >= sqrt(2)` удовлетворяют неравенству `x^4 - 3x^2 + 2 <= 0`.

Ответ:

Таким образом, решение неравенства `x^4 - 3x^2 + 2 <= 0` будет `1 <= x <= sqrt(2)`.