Question

Решите неравенство x+1/(x-1)^2>=1

Answer 1

Перед нами дробь, причём и в числителе и в знаменателе получается квадратные выражение.
Причём это неравенство.
Перенесём 1 в другую часть и найдём общий знаменатель.
А потом решили
1)нашли область определения D(y)
2)потом нашли н.ф.(нули функции)
3)а в конце решили методом интервалов и записали ответ.

Answer 2

Давайте решим неравенство по порядку. Наша цель - найти значения x, при которых неравенство x + 1/(x-1)^2 >= 1 выполняется.

1. Переносим все члены на одну сторону неравенства:

x + 1/(x-1)^2 - 1 >= 0

2. Общий знаменатель:

(x(x-1)^2 + 1 - (x-1)^2) / (x-1)^2 >= 0

3. Раскрываем скобки:

(x(x^2 - 2x + 1) + 1 - (x^2 - 2x + 1)) / (x-1)^2 >= 0

4. Упрощаем выражение:

(x^3 - 2x^2 + x + 1 - x^2 + 2x - 1) / (x-1)^2 >= 0

5. Сокращаем подобные слагаемые:

(x^3 - 3x^2 + 3x) / (x-1)^2 >= 0

6. Факторизуем числитель:

x(x^2 - 3x + 3) / (x-1)^2 >= 0

7. Теперь мы знаем, что неравенство выполняется при x ≠ 1, так как знаменатель (x-1)^2 не может быть равен нулю.

8. Рассмотрим каждый множитель отдельно:

- x >= 0, так как x может быть любым положительным числом или нулем. - x^2 - 3x + 3 > 0, так как дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен.

9. Решим квадратное неравенство:

- Дискриминант D = (-3)^2 - 4*1*3 = 9 - 12 = -3, отрицательный, значит, уравнение не имеет вещественных корней. - Таким образом, уравнение x^2 - 3x + 3 > 0 выполняется для всех значений x.

10. Итак, чтобы неравенство x + 1/(x-1)^2 >= 1 выполнялось, x должен быть больше или равен нулю и не равен 1.

Итоговый ответ:

x >= 0, x ≠ 1

То есть, неравенство выполняется для всех значений x, кроме x = 1.