Question

Как преобразовать данное выражение в дробь 1/х*(х+1)+1/(х+1)*(х+2)+...+1/(х+99)*(х+100)

Answer 1

$\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + ...+\frac{1}{(x+99)(x+100)} =\\\\=( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} )+( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} )+...+ (\frac{1}{x+99} - \frac{1}{x+100})=\\\\= \frac{1}{x} - \frac{1}{x+100} = \frac{x+100-x}{x(x+100)} = \frac{100}{x(x+100)}$

Answer 2

Для преобразования данного выражения в дробь, мы можем использовать метод частичных дробей. Этот метод позволяет разложить сложную дробь на сумму простых дробей.

Метод частичных дробей:

1. Сначала разложим каждое слагаемое в исходной сумме на простые дроби. В данном случае, каждое слагаемое имеет вид 1/(x+k)*(x+k+1), где k принимает значения от 0 до 99. 2. Затем найдем общий знаменатель для всех простых дробей. В данном случае, общим знаменателем будет произведение всех множителей вида (x+k)*(x+k+1), где k принимает значения от 0 до 99. 3. Далее, разложим каждое слагаемое на простые дроби с общим знаменателем. 4. Наконец, сложим все простые дроби и упростим полученную дробь.

Преобразование выражения в дробь:

Выражение: 1/x*(x+1) + 1/(x+1)*(x+2) + ... + 1/(x+99)*(x+100)

1. Разложим каждое слагаемое на простые дроби: - 1/x*(x+1) = 1/x - 1/(x+1) - 1/(x+1)*(x+2) = 1/(x+1) - 1/(x+2) - ... - 1/(x+99)*(x+100) = 1/(x+99) - 1/(x+100)

2. Найдем общий знаменатель: - Общий знаменатель будет произведением всех множителей вида (x+k)*(x+k+1), где k принимает значения от 0 до 99.

3. Разложим каждое слагаемое на простые дроби с общим знаменателем: - 1/x - 1/(x+1) = (1*(x+1) - x)/(x*(x+1)) - 1/(x+1) - 1/(x+2) = ((x+2) - (x+1))/((x+1)*(x+2)) - ... - 1/(x+99) - 1/(x+100) = ((x+100) - (x+99))/((x+99)*(x+100))

4. Сложим все простые дроби и упростим полученную дробь.

Пример преобразования:

Выражение: 1/x*(x+1) + 1/(x+1)*(x+2) + 1/(x+2)*(x+3)

1. Разложим каждое слагаемое на простые дроби: - 1/x*(x+1) = 1/x - 1/(x+1) - 1/(x+1)*(x+2) = 1/(x+1) - 1/(x+2) - 1/(x+2)*(x+3) = 1/(x+2) - 1/(x+3)

2. Найдем общий знаменатель: - Общий знаменатель будет произведением всех множителей вида (x+k)*(x+k+1), где k принимает значения от 0 до 99. - В данном случае, общий знаменатель будет равен (x+1)*(x+2)*(x+3).

3. Разложим каждое слагаемое на простые дроби с общим знаменателем: - 1/x - 1/(x+1) = ((x+1) - x)/(x*(x+1)) = 1/(x*(x+1)) - 1/(x+1) - 1/(x+2) = ((x+2) - (x+1))/((x+1)*(x+2)) = 1/((x+1)*(x+2)) - 1/(x+2) - 1/(x+3) = ((x+3) - (x+2))/((x+2)*(x+3)) = 1/((x+2)*(x+3))

4. Сложим все простые дроби и упростим полученную дробь: - 1/(x*(x+1)) + 1/((x+1)*(x+2)) + 1/((x+2)*(x+3)) = (x+2)/(x*(x+1)*(x+2)*(x+3))

Таким образом, данное выражение может быть преобразовано в дробь (x+2)/(x*(x+1)*(x+2)*(x+3)).