Question

Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а ос- нования равны 7 см и 25 см. Найдите отрезки, на которые диагональ делит высоту трапеции, проведенную из вершины тупого угла

Answer 1

Пусть с - боковая сторона, h - высота, d - диагональ.
с^2 = 25^2 - d^2
с^2 = 9^2 + h^2
cd = 25h
d^2 + h^2 = 544
d^2 = 16^2 + h^2
2h^2 = 288
h^2 =144
h = 12
16tgA = h = 12, где А - угол между диагональю и основанием
tgA = 0,75
9tgA = 6,75 - нижний искомый отрезок
12 - 6,75= 5,25 - верхний искомый отрезок
Обязательно сделай рисунок с обозначениями!

Answer 2

Пусть дана трапеция с основаниями \( a = 7 \, \text{см} \) и \( b = 25 \, \text{см} \). Пусть \( h \) - высота трапеции, \( d \) - диагональ, \( AC \) - боковая сторона, а \( BD \) - другая боковая сторона.

Из условия известно, что диагональ \( d \) перпендикулярна боковой стороне \( AC \). Также диагональ делит трапецию на два прямоугольника \( ABCD \) и \( DCBA \). Поскольку диагональ перпендикулярна боковой стороне, она является высотой обоих этих прямоугольников.

Теперь воспользуемся подобием треугольников \( ABC \) и \( CDA \). В этих треугольниках соответствующие углы равны, так как противоположные стороны прямоугольников параллельны. Таким образом, треугольники подобны.

\[ \frac{h}{AC} = \frac{h}{BD} \]

Теперь у нас есть отношение высоты к боковым сторонам трапеции. Заметим, что \( AC = BD + 7 \) (поскольку \( AC \) - это сумма боковой стороны и основания трапеции).

\[ \frac{h}{BD + 7} = \frac{h}{BD} \]

Теперь решим уравнение относительно \( BD \):

\[ BD = \frac{7 \cdot h}{h - 7} \]

Теперь, чтобы найти отрезки, на которые диагональ делит высоту, проведем высоту из вершины тупого угла и обозначим точку пересечения с диагональю как точку \( E \).

\[ DE = BD - 7 \]

Таким образом, выражение для отрезка \( DE \) будет:

\[ DE = \frac{7 \cdot h}{h - 7} - 7 \]

Теперь у вас есть выражение для отрезка \( DE \), на который диагональ делит высоту трапеции, проведенную из вершины тупого угла.