Question

в прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гепотенузу на отрезки равные 2 и 1. Найдите радиус этой окружности

Answer 1

треугольник АВС, О-центр вписан.окруж., М-точка касания с гипотенузой АС, СМ=1, АМ=2, Е-точка касания с катетом ВС и К-точка касания с катетом АВ, СЕ=СМ=1 (отрезки, касательных к окружности, проведенных из одной точки), так же АК=АМ=2, ОЕ=ОК= радиусу окружности. ОЕ перпендикулярно к ВС (отрезок, проведенный от центра окружности к точке касания, перпендикю к данной стороне), также ОК перпендик. к ВА. угол АВС-90градусов. ВКОЕ-квадрат, где сторона равна радиусу и обозначим за х, тогда ВА=2+х, ВС=х+1, Ас=2+1=3-гипотенуза

По теореме Пифагора

(х+1)^2+(х+2)^2=3^2

x^2+2x+1+x^2+4x+4=9

2x^2+6x-4=0 сократим на 2

х^2+3x-2=0

дискрим Д=9+8=17

Х1=(-3+корень из 17)/2   (корень из 17 приблиз равен 4,12)

х2=(-3-корень из17)/2 (отрицат. быть не может) 

Ответ: радиус равен (-3+корень из 17)/2

 

 

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим прямоугольный треугольник, вписанный в окружность. Пусть A, B и C - вершины треугольника, где AB является гипотенузой, а C - точка касания окружности с гипотенузой.

По условию, точка касания C делит гипотенузу AB на два отрезка, равные 2 и 1. Обозначим длину отрезка AC как x, а длину отрезка CB как y.

Так как окружность вписана в треугольник, то точка касания C является точкой пересечения биссектрис треугольника. Это означает, что отрезок AC является биссектрисой угла A, а отрезок BC - биссектрисой угла B.

Использование биссектрисы:

Используя свойство биссектрисы, мы можем установить следующее соотношение между длинами отрезков AC и BC:

AC/BC = AB/AB

Так как AB является гипотенузой и равна 3 (2 + 1), получаем:

x/y = 3/3

x/y = 1

Применение теоремы Пифагора:

Мы также можем использовать теорему Пифагора для нахождения отношения длин отрезков AC и BC.

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника верно следующее соотношение:

AB^2 = AC^2 + BC^2

Заменяя значения, получаем:

3^2 = x^2 + y^2 9 = x^2 + y^2

Нахождение радиуса окружности:

Радиус окружности (r) определяется как расстояние от центра окружности до точки касания. Так как точка касания C делит гипотенузу на отрезки 2 и 1, то мы можем записать следующее соотношение:

x + y = 3

Теперь у нас есть два уравнения:

x/y = 1 x + y = 3

Решая эти уравнения, мы получим значения x = 1 и y = 2. Таким образом, длина отрезка AC равна 1, а длина отрезка CB равна 2.

Теперь мы можем использовать одно из уравнений Пифагора для нахождения радиуса окружности:

9 = 1^2 + 2^2 9 = 1 + 4 9 = 5

Таким образом, мы получаем, что радиус этой окружности равен √5, что составляет примерно 2.236.

Итак, радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник, где точка касания делит гипотенузу на отрезки равные 2 и 1, составляет примерно 2.236.