Question

Помогите решить определенныq интеграл от pi/2 до 0 sinx dx/4+3cosx

Answer 1

$\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0 {\frac{sinx\; dx}{4+3cosx} =[\; t=4+3cosx\; ,\; dt=-3sinx\, dx\; ,\; t_1=7\; ,\; t_2=4\; ]=$

$=-\frac{1}{3}\cdot \int\limits_7^4 \frac{dt}{t}=- \frac{1}{3} \cdot ln|t|\, \Big |_7^4=- \frac{1}{3} \cdot (ln4-ln7)= \\\\=\frac{1}{3}\cdot (ln7-ln4)= \frac{1}{3}\cdot ln \frac{7}{4}$

Answer 2

Чтобы решить данный определенный интеграл, мы можем использовать метод интегрирования по частям.

Интеграл имеет вид:

∫[π/2, 0] (sin(x)/(4 + 3cos(x))) dx

Для начала, мы можем заменить cos(x) на 1 - sin^2(x), чтобы упростить интеграл:

∫[π/2, 0] (sin(x)/(4 + 3(1 - sin^2(x)))) dx

Теперь раскроем скобки:

∫[π/2, 0] (sin(x)/(4 + 3 - 3sin^2(x))) dx

∫[π/2, 0] (sin(x)/(7