Question

Докажите тождество 2cos^2a - cos2a=1

Answer 1

2cos^2a-cos2a=2cos^2a-(cos^2a-sin^2a)=2cos^2a-cos^2a+sin^2a=cos^2a+sin^2a=1. левая часть равна правой, тождество доказано.

Answer 2

Для доказательства тождества \(2\cos^2(a) - \cos(2a) = 1\), воспользуемся тригонометрическими тождествами. В частности, будем использовать тождество для удвоенного угла:

\[ \cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a) \]

Мы хотим доказать, что \(2\cos^2(a) - \cos(2a) = 1\). Заменим \(\cos(2a)\) в выражении:

\[ 2\cos^2(a) - (\cos^2(a) - \sin^2(a)) \]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[ 2\cos^2(a) - \cos^2(a) + \sin^2(a) \]

Сгруппируем подобные члены:

\[ \cos^2(a) + \sin^2(a) \]

Теперь вспомним тождество Пифагора для синуса и косинуса:

\[ \sin^2(a) + \cos^2(a) = 1 \]

Таким образом, выражение принимает вид:

\[ 1 \]

Итак, мы доказали, что \(2\cos^2(a) - \cos(2a) = 1\).