Question

Найдите все действительные решения уравнения: x²+2xsin(xy)+1=0.

Answer 1

$(x+\sin(xy))^2+(1-\sin^2(xy))=0.$

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, поэтому каждое из них равно нулю:

$\left \{ {{1-\sin^2(xy)=0} \atop {x+\sin(xy)=0}} \right.; \left \{ {{\sin(xy)=\pm 1} \atop {x+\sin(xy)=0}} \right. .$

1) $\left \{ {{\sin(xy)=1} \atop {x=-1}} \right.; \left \{ {{\sin y=-1} \atop {x=-1}} \right.; \left \{ {{y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n} \atop {x=-1}} \right.$

2) $\left \{ {{\sin(xy)=-1} \atop {x=1}} \right. ; \left \{ {{\sin y=-1} \atop {x=1}} \right. ; \left \{ {{y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n} \atop {x=1}} \right.$

Ответ: $(\pm 1;-\frac{\pi}{2}+2\pi n);\ n\in Z$

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать методы алгебраического анализа и тригонометрии. Для начала, давайте рассмотрим уравнение:

x² + 2xsin(xy) + 1 = 0

Для удобства, давайте обозначим sin(xy) как t:

x² + 2xt + 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной x. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

В нашем случае, a = 1, b = 2t и c = 1. Подставим эти значения в формулу и решим уравнение.

x = (-2t ± √((2t)² - 4(1)(1))) / (2(1))

x = (-2t ± √(4t² - 4)) / 2

x = -t ± √(t² - 1)

Теперь мы имеем два возможных значения для x, которые зависят от значения t. Чтобы найти значения t, мы должны решить уравнение sin(xy) = t.

sin(xy) = t

xy = arcsin(t)

y = arcsin(t) / x

Итак, действительные решения уравнения зависят от значений t и x. Мы можем выбрать различные значения для t и найти соответствующие значения x и y, используя вышеприведенные формулы.

Например, если мы возьмем t = 0, то получим:

x = -0 ± √(0² - 1) = ± i

y = arcsin(0) / x = 0 / x = 0

Таким образом, у нас есть комплексные решения x = ± i и y = 0, когда t = 0.

Аналогично, мы можем выбрать другие значения t и найти соответствующие значения x и y. Важно отметить, что значения t должны быть в пределах от -1 до 1, так как sin(xy) ограничен этими значениями.

Пожалуйста, учтите, что это общая процедура для решения данного уравнения, и фактические значения x и y могут быть найдены только при конкретных значениях t и x.