Question

Напишите уравнение касательной к графику функций y=f(x) в точке графика с абсциссой Xo если: f(x) = x^2-6x+5 при х0 = 2 f(x) = In x при x0 =e f(x) = 3^x при x0 =1

Answer 1

A) y=x²-6x+5 при x₀=2
формула уравнения касательной: y=f(x₀)+f '(x₀)(x-x₀) 
1) Вычисляем f(x₀). 
Подставляем в y=x²-6x+5 x₀=2 вместо иксов.
f(x₀)=2²-6*2+5= 4-12+5= -3
2) Находим производную y=x²-6x+5.
y'=2x-6  (по формулам (с)' = 0 и (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹)
3) Вычисляем f '(x₀).
Подставляем в полученную производную x₀=2. Проделываем тоже самое, что и в первом пункте, только уже в производную заданной функции.
f '(x₀) =2*2-6=4-6=-2
4) Возвращаемся к формуле y=f(x₀)+f '(x₀)(x-x₀). Подставляем все полученные элементы
f(x₀)=-3
f '(x₀)=-2
в (x-x₀) x так и остается, а x₀ было дано в самом начале, x₀=2
y=-3+(-2)(x-2),
-3-2(x-2)
можно ещё посчитать
-5(x-2) 
-5x+10

б) 3ˣ при x₀=1
y=f(x₀)+f '(x₀)(x-x₀) 
1)f(x₀)=3¹=3
2)y'=(3ˣ)'=3ˣln3 по формуле (aˣ)' = aˣlna 
3)f '(x₀)= 3ln3
4)y=f(x₀)+f '(x₀)(x-x₀) = 3+3ln3(x-1)

в) lnx при x₀=e
y=f(x₀)+f '(x₀)(x-x₀) 
1)f(x₀)=lne=1 
2)y'=1/x по формуле (lnx)' = 1/x
3)f '(x₀)=1/e, 1
4)y=f(x₀)+f '(x₀)(x-x₀) = 1+1(x-e) 
1+x-e
x+1-e

Answer 2

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке графика с абсциссой Xo

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке, нам необходимо найти значение производной функции в этой точке, а также координаты самой точки.

Для каждой из заданных функций, найдем значение производной в точке Xo и координаты этой точки.

Функция f(x) = x^2 - 6x + 5 при x0 = 2:

Сначала найдем значение производной функции f(x):

f'(x) = 2x - 6

Затем найдем значение производной в точке x0 = 2:

f'(2) = 2*2 - 6 = -2

Теперь найдем координаты точки графика с абсциссой Xo = 2:

f(2) = 2^2 - 6*2 + 5 = 4 - 12 + 5 = -3

Таким образом, у нас есть точка (2, -3) и значение производной f'(2) = -2.

Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке (2, -3) будет иметь вид:

y - (-3) = -2(x - 2)

Simplifying the equation, we get:

y + 3 = -2x + 4

y = -2x + 1

Функция f(x) = ln(x) при x0 = e:

Для функции f(x) = ln(x), производная равна:

f'(x) = 1/x

Теперь найдем значение производной в точке x0 = e:

f'(e) = 1/e

Координаты точки графика с абсциссой Xo = e выражаются следующим образом:

f(e) = ln(e) = 1

Таким образом, у нас есть точка (e, 1) и значение производной f'(e) = 1/e.

Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке (e, 1) будет иметь вид:

y - 1 = (1/e)(x - e)

Simplifying the equation, we get:

y - 1 = (x - e)/e

e(y - 1) = x - e

e*y - e = x - e

e*y = x

Функция f(x) = 3^x при x0 = 1:

Для функции f(x) = 3^x, производная равна:

f'(x) = ln(3) * 3^x

Теперь найдем значение производной в точке x0 = 1:

f'(1) = ln(3) * 3^1 = ln(3) * 3

Координаты точки графика с абсциссой Xo = 1:

f(1) = 3^1 = 3

Таким образом, у нас есть точка (1, 3) и значение производной f'(1) = ln(3) * 3.

Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке (1, 3) будет иметь вид:

y - 3 = ln(3) * 3(x - 1)

Simplifying the equation, we get:

y - 3 = ln(3) * 3x - 3ln(3)

y = ln(3) * 3x - 3ln(3) + 3

Таким образом, мы получили уравнение касательной к графику каждой из заданных функций в соответствующих точках.