Question

Знаменатель несократимой дроби на 7 больше числителя. Если числитель и знаменатель дроби увеличить на 2, то дробь увеличится на 1/12. Найдите эту дробь.

Answer 1

X/x+7 + 1/12 = x+2/x+9   |   *(x+7)(x+9)*12
12x*(x+9) + (x+7)(x+9) = 12*(x+2)(x+7)
12x^2 + 108x + x^2 + 9x + 7x + 63 = 12x^2 + 108x + 168
x^2 + 16x + 63 - 168 = 0
x^2 + 16x - 105 = 0
D=16^2 + 4*105 = 256 + 420 = 676 = 26^2
x1 = (-16+26) / 2 = 5
x2 = (-16-26) / 2 = -21
x = 5
Ответ: 5/12

Answer 2

Пусть исходная дробь равна \( \frac{a}{b} \), где \( a \) - числитель, \( b \) - знаменатель. Условие задачи гласит, что знаменатель несократимой дроби на 7 больше числителя, то есть \( b = a + 7 \).

Также условие гласит, что если числитель и знаменатель увеличить на 2, то дробь увеличится на \( \frac{1}{12} \). Это можно записать уравнением:

\[ \frac{a + 2}{b + 2} = \frac{a}{b} + \frac{1}{12} \]

Теперь мы можем воспользоваться найденным ранее соотношением \( b = a + 7 \). Заменяем \( b \) на \( a + 7 \) в уравнении:

\[ \frac{a + 2}{a + 9} = \frac{a}{a + 7} + \frac{1}{12} \]

Решим это уравнение. Умножим обе стороны на 12, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ 12(a + 2) = a(a + 7) + 1(a + 9) \]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[ 12a + 24 = a^2 + 7a + a + 9 \]

Собираем все члены уравнения в квадратном уравнении в одном члене:

\[ 0 = a^2 + 7a + a + 9 - 12a - 24 \]

\[ 0 = a^2 - 4a - 15 \]

Теперь факторизуем квадратное уравнение:

\[ 0 = (a - 5)(a + 3) \]

Отсюда получаем два возможных значения для \( a \): \( a = 5 \) или \( a = -3 \).

Если \( a = 5 \), то \( b = a + 7 = 12 \). Таким образом, несократимая дробь равна \( \frac{5}{12} \).

Если \( a = -3 \), то \( b = a + 7 = 4 \). Однако, так как знаменатель несократимой дроби не может быть меньше 1, это значение не подходит.

Итак, решение задачи: несократимая дробь равна \( \frac{5}{12} \).