Question

С помощью формулы Бернулли определите вероятность появления ровно 7 орлов при 10 бросаниях монеты.

Answer 1

10 испытаний с двумя возможными исходами и постоянной вероятностью этих исходов.
Из них 6 успехов. , причем без разницы в какой очередности происходят успех или неудача.
Так что получаем
C[6,10]* (1\2)^6*(1/2)^4=C[6,10]/2^10=105/512
где C[6,10]. - это число возможных выборок 6 из 10

Answer 2

Для определения вероятности появления определенного числа успехов (в данном случае, выпадения орла) при нескольких независимых испытаниях можно использовать биномиальное распределение и формулу Бернулли.

Формула Бернулли для биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}, \]

где: - \( P(X = k) \) - вероятность того, что произойдет \( k \) успехов в \( n \) испытаниях, - \( C_n^k \) - биномиальный коэффициент (число сочетаний из \( n \) по \( k \)), - \( p \) - вероятность успеха в одном испытании, - \( n \) - общее число испытаний, - \( k \) - число успехов.

В данном случае, у нас \( n = 10 \) бросаний монеты, и мы хотим найти вероятность того, что выпадет орел (\( p = 0.5 \)), и число успехов \( k = 7 \).

\[ P(X = 7) = C_{10}^7 \cdot (0.5)^7 \cdot (0.5)^{10-7} \]

Вычислим значения:

\[ C_{10}^7 = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ P(X = 7) = 120 \cdot (0.5)^7 \cdot (0.5)^3 \]

\[ P(X = 7) = 120 \cdot 0.0078125 \cdot 0.125 \]

\[ P(X = 7) = 0.9375 \]

Таким образом, вероятность того, что при 10 бросаниях монеты выпадет ровно 7 орлов, составляет 0.9375 или 93.75%.