Question

Y=2-3sinx+4cosx найти наибольшее​ и наименьшее значение функции не используя производную. Помогите пожалуйста, уже пол часа с ней бьюсь, а с ответом никак не сходится. Расскажите как эту задачу делать. Спасибо

Answer 1

У = 2-3sinx +4 cosx  - уравнение  (1)
преобразуем (3sinx +4cosx): пусть А=3, В=4, видим, что 
3² +4² = 5²
(3/5)² + (4/5)² = 1, так же знаем, что
sin²t + сos² t =1, значит
3/5 = sin t     4/5 = cost, то есть 
(3sinx +4cosx) = 5(3/5 sinx  + 4/5 cosx) =5(sin t*sinx+ cost*cosx)=5sin(x+t) - это выражение подставим в исходное уравнение (1) :
у= 2-5sin(x+t),  а теперь знаем, что sin (x+t) максимальное =1 ⇒

у(макс) = 2-5*1 = 2-5=-3

sin (x+t) минимальное  = -1 ⇒

у(мин) = 2-5*(-1) = 2+5=7

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции Y = 2 - 3sin(x) + 4cos(x) без использования производной, мы можем воспользоваться следующими шагами:

Шаг 1: Используйте тригонометрические тождества

Используя тригонометрические тождества, мы можем переписать функцию Y в другой форме. В данном случае, мы можем использовать тождество синуса и косинуса: Y = 2 - 3sin(x) + 4cos(x) = 2 + 5cos(x + α), где α = arccos(3/5)

Шаг 2: Определите диапазон изменения функции

Так как косинус имеет максимальное значение 1 и минимальное значение -1, функция Y будет иметь наибольшее значение, когда cos(x + α) равен 1, и наименьшее значение, когда cos(x + α) равен -1.

Шаг 3: Найдите наибольшее значение функции

Когда cos(x + α) равен 1, функция Y принимает наибольшее значение. Подставим это значение в формулу: Y = 2 + 5cos(x + α) = 2 + 5 * 1 = 7

Шаг 4: Найдите наименьшее значение функции

Когда cos(x + α) равен -1, функция Y принимает наименьшее значение. Подставим это значение в формулу: Y = 2 + 5cos(x + α) = 2 + 5 * -1 = -3

Ответ:

Наибольшее значение функции Y равно 7, а наименьшее значение равно -3.

Пожалуйста, обратите внимание, что эти шаги основаны на математических принципах и тригонометрических тождествах. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, я с радостью помогу вам!