Question

. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = х3 – 3х2 + 4 на промежутке [0;5].

Answer 1

$f'(x)=3 x^{2} -6x[tex][tex]=3x(x-2)$
$f'(x)=0$
$x_{1} =0$
$x_{2} =2$
$f(2)=6$
$f(5)=54$
$f(0)=4$ наименьшее значение

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 на промежутке [0;5] необходимо найти значения функции в концах промежутка и в стационарных точках.

1. Найдем значения функции в концах промежутка: - Подставим x = 0 в функцию: f(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 4 = 4. - Подставим x = 5 в функцию: f(5) = 5^3 – 3(5)^2 + 4 = 125 – 75 + 4 = 54.

2. Найдем стационарные точки, то есть точки, где производная функции равна нулю: - Найдем производную функции: f'(x) = 3x^2 – 6x. - Приравняем производную к нулю и решим уравнение: 3x^2 – 6x = 0. Факторизуем: 3x(x – 2) = 0. Получаем два значения x: x = 0 и x = 2.

3. Найдем значения функции в стационарных точках: - Подставим x = 0 в функцию: f(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 4 = 4. - Подставим x = 2 в функцию: f(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 4 = 8 – 12 + 4 = 0.

Таким образом, наибольшее значение функции равно 54 и достигается при x = 5, а наименьшее значение равно 0 и достигается при x = 2.