Question

Упростите дробь x⁴+x²y²+y⁴ (числитель)(x-y)(x³-y³) (знаменатель)

Answer 1

(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)     (x^2-xy+y^2) 

--------------------------------= ----------------

(x-y)(x-y)(x^2+xy+y^2)          (x-y)(x-y)

Answer 2

Чтобы упростить данную дробь, мы можем воспользоваться факторизацией и алгебраическими свойствами. Давайте посмотрим более подробно.

Дробь, которую мы хотим упростить, выглядит следующим образом:

(x⁴ + x²y² + y⁴) / [(x - y)(x³ - y³)]

Для начала, давайте рассмотрим числитель. Обратим внимание, что это является суммой кубов:

x⁶ + y⁶ = (x²)³ + (y²)³

Мы можем применить формулу суммы кубов, которая гласит:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Применяя эту формулу к (x²)³ + (y²)³, мы получаем:

(x²)³ + (y²)³ = (x² + y²)((x²)² - (x²)(y²) + (y²)²)

Теперь, если мы заменим (x² + y²) в числителе на (x² + xy + y²) и упростим выражение (x²)² - (x²)(y²) + (y²)², то получим:

(x⁴ + x²y² + y⁴) = (x² + xy + y²)((x²)² - (x²)(y²) + (y²)²)

Теперь мы можем перейти к знаменателю. Заметим, что (x³ - y³) является разностью кубов:

(x³ - y³) = (x - y)(x² + xy + y²)

Используя эти результаты, мы можем переписать нашу исходную дробь:

(x⁴ + x²y² + y⁴) / [(x - y)(x³ - y³)] = (x² + xy + y²)((x²)² - (x²)(y²) + (y²)²) / [(x - y)(x² + xy + y²)]

Заметим, что (x² + xy + y²) сокращается как числитель, так и знаменатель. Поэтому они сокращаются и оставляют нам:

Ответ: (x²)² - (x²)(y²) + (y²)²