Question

Объясните решение интеграла от (x^2+x)/(x-1) по dx Заранее спасибо

Answer 1

Делим х²+х   |x-1
           x²-x    x+2
                2x
                2x-2
                     2
 (x²+x)/(x-1)=x+2+2/(x -1)
и находим интеграл суммы- во вложении

Answer 2

Для решения данного интеграла, нам необходимо разложить дробь на простые слагаемые. Интеграл от функции (x^2+x)/(x-1) по dx можно представить в виде суммы двух интегралов:

∫((x^2+x)/(x-1)) dx = ∫(x/(x-1)) dx + ∫(1/(x-1)) dx

Интеграл ∫(x/(x-1)) dx:

Для решения этого интеграла, мы можем воспользоваться методом частичной дробей. Разложим дробь на простые слагаемые:

x/(x-1) = A/(x-1) + Bx/(x-1)

где A и B - неизвестные коэффициенты, которые мы должны найти. Умножим обе части уравнения на (x-1), чтобы избавиться от знаменателя:

x = A + Bx

Теперь мы можем сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x:

1x^1: 1 = B 0x^0: 0 = A

Таким образом, получаем A = 0 и B = 1. Подставим значения коэффициентов обратно в исходное уравнение:

x/(x-1) = 1/(x-1)

Теперь мы можем интегрировать каждое слагаемое по отдельности:

∫(x/(x-1)) dx = ∫(1/(x-1)) dx = ln|x-1| + C1

где C1 - произвольная постоянная.

Интеграл ∫(1/(x-1)) dx:

Этот интеграл является простым и может быть решен с помощью замены переменной. Проведем замену u = x-1, тогда du = dx:

∫(1/(x-1)) dx = ∫(1/u) du = ln|u| + C2

где C2 - еще одна произвольная постоянная.

Теперь мы можем объединить оба интеграла:

∫((x^2+x)/(x-1)) dx = ln|x-1| + ln|u| + C

где C - общая произвольная постоянная.

Окончательное решение интеграла от (x^2+x)/(x-1) по dx:

∫((x^2+x)/(x-1)) dx = ln|x-1| + ln|x-1| + C = 2ln|x-1| + C

Пожалуйста, обратите внимание, что данное решение является предположением, основанным на предоставленной информации. Если у вас есть дополнительные требования или уточнения, пожалуйста, уточните их.