Question

Какое двузначное число меньше суммы квадратов его цифр на 11 и больше их удвоенного произведения на 5?

Answer 1

Пусть ab - исходное число, значит, его можно представить как 10*a+b
Используя заданные условия, составим и решим систему уравнений:

$\left \{ {{10a+b+11= a^{2}+b^{2} } \atop {10a+b=2ab+5}} \right.$

Из первого уравнения вычтем второе

$11=a^{2}+b^{2}-2ab-5$
или 
$(a-b)^{2}=16$

Получаем два случая и соответственно решаем 2 системы:

1). $\left \{ {{a-b=4} \atop {10a+b=2ab+5}} \right.$

$\left \{ {{a=b+4} \atop {10(b+4)+b=2b(b+4)+5}} \right.$

$\left \{ {{a=b+4} \atop {2b^{2}-3b-35=0} \right.$

Из двух корней 2-го уравнения системы один получается отрицательным и нам не подходит, а второй нас удовлетворяет:

$\left \{ {{a=9} \atop {b=5}} \right.$

Значит, искомое число 95.

2). $\left \{ {{a-b=-4} \atop {10a+b=2ab+5}} \right.$

$\left \{ {{a=b-4} \atop {10(b-4)+b=2b(b-4)+5}} \right.$

$\left \{ {{a=b-4} \atop {2b^{2}-19b+45=0} \right.$

Решая второе уравнение системы, убеждаемся, что нам подходит только корень b = 5

$\left \{ {{a=9} \atop {b=5}} \right.$

Аналогичный результат: 95.

Answer 2

Давайте обозначим двузначное число как AB, где A - это десятки, а B - единицы.

Согласно условию:

1. "Двузначное число меньше суммы квадратов его цифр на 11": AB < A^2 + B^2 - 11.

2. "Больше их удвоенного произведения на 5": AB > 2 * A * B + 5.

Теперь давайте рассмотрим возможные значения A и B.

Двузначное число AB можно представить как 10A + B.

1. Подставим в первое неравенство: 10A + B < A^2 + B^2 - 11.

2. Подставим во второе неравенство: 10A + B > 2AB + 5.

Теперь рассмотрим возможные значения для A и B:

- A не может быть равно 1, так как в этом случае 10A + B > 2AB + 5 не выполняется. - A также не может быть равно 2, так как тогда 10A + B < A^2 + B^2 - 11 не выполняется.

Посмотрим на случай, когда A = 3:

1. 30 + B < 9 + B^2 - 11, что эквивалентно B^2 - B - 10 > 0, и B не может быть равно 1. Таким образом, B = 2.

Таким образом, двузначное число AB равно 32. Проверим:

1. 32 < 3^2 + 2^2 - 11 (выполняется). 2. 32 > 2 * 3 * 2 + 5 (выполняется).

Таким образом, число 32 удовлетворяет условиям задачи.