Question

Даны геометрическаяпрогрессиясобщимчленомbnиарифметическаяпрогрессиясобщимчленомan разность которой отлична от нуля. Известно, что b1=a2 b2=a14 b3=a8. Определи-те, являются ли четвёртый и пятый членыгеометрическойпрогрессии также членами данной арифмитической прогрессии (если да, то определите их номера)ю

Answer 1

b[n]=b[1]q^(n-1)

 

a[n]=a[1]+(n-1)d

 

b[1]=a[2]

b[2]=a[14]

b[3]=a[8]

 

b[1]=a[1]+d

b[1]q=a[1]+13d

b[1]q^2=a[1]+7d

 

b[1]q-b[1]=12d

b[1]q^2-b[1]q=-6d

 

b[1](q-1)=12d

b[1](q-1)q=-6d

 

12d q=-6d

d=0 или q=-4/16=-1/2

 

1 случай если d=0 невозможен так как разность отлична от нуля

2 случай q=-1/2

 

b[1]=a[1]+d

b[1]q^2=a[1]+7d

 

b[1] (-1/2)=a[1]+13d

 

(a[1]+7d)/(a[1]+d)=1/4

 

4(a[1]+7d)=a[1]+d

 

4a[1]+28d=a[1]+d

 

3a[1]=-27d

 

a[1]=-9d

a[n]=a[1]+(n-1)d=-9d+(n-1)d=-10d+nd

-9d, -8d, -7d, ..., 0, d,2d, .....

 

b[1]=-8d=a[2]

b[2]=-8d*(-1/2)=4d=a[14]

b[3]=4d*(-1/2)=-2d=a[8]

 

b[4]=-2d*(-1/2)=d=-10d+11d=a[11]

 

b[5]=d*(-1/2)=-1/2d - не является членом данной арифмитической прогрессии

Answer 2

Давайте обозначим общий член геометрической прогрессии как \(b_n\) и общий член арифметической прогрессии как \(a_n\). По условию, известно, что:

\[ b_1 = a_2 + b_2 \] \[ b_1 = a_8 + b_3 \] \[ b_1 = a_{14} + b_4 \]

Также нам известно, что разность арифметической прогрессии не равна нулю, то есть \(a_n \neq 0\).

Нам нужно определить, являются ли четвёртый и пятый члены геометрической прогрессии также членами арифметической прогрессии.

Для начала, давайте рассмотрим, как можно выразить члены геометрической прогрессии через общий член \(b_n\):

\[ b_2 = b_1 \cdot r \] \[ b_3 = b_2 \cdot r = b_1 \cdot r^2 \] \[ b_4 = b_3 \cdot r = b_1 \cdot r^3 \] \[ b_5 = b_4 \cdot r = b_1 \cdot r^4 \]

Теперь мы можем использовать данные условия для нахождения значения \(r\) и \(b_1\).

Из уравнения \(b_1 = a_2 + b_2\) получаем:

\[ b_1 = a_2 + b_1 \cdot r \]

Теперь, из уравнения \(b_1 = a_8 + b_3\):

\[ b_1 = a_8 + b_1 \cdot r^2 \]

Из этих двух уравнений мы можем выразить \(r\):

\[ r = \frac{a_2 - a_8}{b_1} \]

Теперь мы можем использовать уравнение \(b_1 = a_{14} + b_4\) для определения \(b_1\) и далее использовать найденное значение \(r\).

\[ b_1 = a_{14} + b_1 \cdot r^3 \]

Подставим выражение для \(r\):

\[ b_1 = a_{14} + b_1 \cdot \left(\frac{a_2 - a_8}{b_1}\right)^3 \]

Решив это уравнение относительно \(b_1\), мы сможем найти его значение.

Теперь, зная \(b_1\) и \(r\), мы можем найти четвёртый и пятый члены геометрической прогрессии:

\[ b_4 = b_1 \cdot r^3 \] \[ b_5 = b_1 \cdot r^4 \]

Теперь мы можем проверить, являются ли они также членами арифметической прогрессии. Если это так, найдем их номера в арифметической прогрессии.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы или нужна дополнительная помощь с решением, дайте знать.