Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2, y=x^(-1), y=e. Ну или хотя бы какой то интеграл получится и первообразная? Спасибо!

Answer 1

В приложенной картинке видно, что у нас 2 области - вместе они составляют площадь под линией у=е.  точки пересечения горизонтали у=е и параболой у=х²   х²=е   x=√e  x=-√e

площадь прямоугольника под у=е  е*2√е
площадь под параболой ∫x²dx  от -√е до +√е   или в силу симметрии
удвоенному интегралу от 0 до √е
2∫х²dx=2/3*x³  2*F(0)=0  s1=2*F(√e)=4/3*(√e)³=4/3*e√e
искомая s=2e√e-4/3e√e=2/3*e√e

Answer 2

Вычисление площади фигуры

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = x^2, y = x^(-1) и y = e, мы можем воспользоваться интегралом. Площадь фигуры будет равна разности интегралов функций, ограничивающих фигуру.

Для начала, найдем точки пересечения кривых. Пересечения могут быть найдены путем решения уравнений:

1. y = x^2 и y = x^(-1) 2. y = x^2 и y = e 3. y = x^(-1) и y = e

После нахождения точек пересечения, мы можем определить пределы интегрирования для каждой области фигуры.

Точки пересечения

1. y = x^2 и y = x^(-1): - Решим уравнение x^2 = x^(-1): - x^3 = 1 - x = 1

2. y = x^2 и y = e: - Решим уравнение x^2 = e: - x = sqrt(e)

3. y = x^(-1) и y = e: - Решим уравнение x^(-1) = e: - x = 1/e

Вычисление площади

Теперь, когда у нас есть точки пересечения, мы можем вычислить площадь фигуры, используя интегралы.

1. Область между y = x^2 и y = x^(-1): - Пределы интегрирования: от x = 1/e до x = 1 - Интеграл: ∫(x^(-1) - x^2) dx

2. Область между y = x^2 и y = e: - Пределы интегрирования: от x = 1 до x = sqrt(e) - Интеграл: ∫(e - x^2) dx

3. Область между y = x^(-1) и y = e: - Пределы интегрирования: от x = 1/e до x = sqrt(e) - Интеграл: ∫(e - x^(-1)) dx

Суммируя результаты этих интегралов, мы получим площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2, y = x^(-1) и y = e.

Примечание: Для точного вычисления площади фигуры, необходимо использовать численные методы или символьные вычисления. В данном случае, мы предоставили общий подход к вычислению площади, но конкретные значения интегралов могут быть сложными для вычисления аналитически.