Question

Знайти: y' y=(2x^3-1)^4

Answer 1

Y`=4(2x³-1)³*6x²=24x²*(2x³-1)³

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения \(y' + y = (2x^3 - 1)^4\), мы можем воспользоваться методом интегрирующего множителя. Уравнение имеет вид \(y' + P(x)y = Q(x)\), где \(P(x) = 1\) и \(Q(x) = (2x^3 - 1)^4\).

1. Найдем интегрирующий множитель \(\mu(x)\). Для этого умножим обе части уравнения на \(\mu(x)\):

\[\mu(x) \cdot (y' + y) = \mu(x) \cdot (2x^3 - 1)^4\]

Используем правило производной произведения:

\[\mu(x) \cdot y' + \mu(x) \cdot y = \frac{d}{dx}(\mu(x) \cdot y) = (2x^3 - 1)^4 \cdot \mu(x)\]

2. Поскольку производная произведения равна произведению производных, сравниваем коэффициенты при \(y'\) и \(y\):

\[\mu(x) = \frac{1}{\mu(x)} \Rightarrow \mu(x)^2 = \exp\left(\int P(x)dx\right)\]

В данном случае \(P(x) = 1\), поэтому \(\int P(x)dx = \int dx = x\). Таким образом, \(\mu(x)^2 = e^x\), и \(\mu(x) = e^{x/2}\).

3. Умножаем обе части уравнения на \(\mu(x)\):

\[e^{x/2} \cdot y' + e^{x/2} \cdot y = (2x^3 - 1)^4 \cdot e^{x/2}\]

4. Теперь левая часть уравнения представляет собой производную от произведения \(\mu(x)\) и \(y\):

\[\frac{d}{dx}(e^{x/2} \cdot y) = (2x^3 - 1)^4 \cdot e^{x/2}\]

5. Интегрируем обе стороны уравнения по \(x\):

\[\int \frac{d}{dx}(e^{x/2} \cdot y)dx = \int (2x^3 - 1)^4 \cdot e^{x/2}dx\]

Получаем:

\[e^{x/2} \cdot y = \int (2x^3 - 1)^4 \cdot e^{x/2}dx + C\]

где \(C\) - постоянная интеграции.

6. Решаем интеграл на правой стороне. Это может потребовать использования методов интегрирования, таких как интегрирование по частям и замены переменных.

7. После нахождения частного решения уравнения, добавляем постоянную интеграции \(C\) и получаем общее решение дифференциального уравнения.

Обратите внимание, что шаги 6 и 7 могут потребовать тщательных вычислений и методов интегрирования, и результат будет представлять собой функцию \(y(x)\).