Question

Найти промежутки возрастания функции f(x)=√x^2-x-2

Answer 1

$f(x)=\sqrt{x^2-x-2}\\\\OOF:\; \; x^2-x-2 \geq 0\; ,\; (x+1)(x-2) \geq 0\; ,\\\\x\in (-\infty ,-1]\cup [2,+\infty )\\\\f'(x)=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x-1}}=0\; ,\; \; 2x-1=0\; ,\; x=\frac{1}{2}\notin OOF\\\\znaki\; f'(x):\; \; \; ---(-1) \, ...........\, (2)+++\\\\ybuvaet\; \; x\in (-\infty ,-1)\\\\vozrastaet\; \; x\in (2,+\infty )$

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания функции f(x) = √(x^2 - x - 2), мы можем использовать производную функции и анализировать знак этой производной.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции f(x). Для этого возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности с помощью правила дифференцирования:

f(x) = √(x^2 - x - 2)

f'(x) = (1/2) * (x^2 - x - 2)^(-1/2) * (2x - 1)

После упрощения получаем:

f'(x) = (x - 1)/√(x^2 - x - 2)

Анализ знака производной

Теперь мы можем анализировать знак производной f'(x) в различных интервалах, чтобы определить промежутки возрастания функции f(x).

1. Найдем точки, где производная равна нулю:

(x - 1)/√(x^2 - x - 2) = 0

Так как производная определена только для x ≠ 1, то единственная точка, где производная может быть нулевой, это x = 1.

2. Анализируем знак производной в интервалах:

- Если x < 1, то (x - 1) < 0. Знак производной f'(x) будет зависеть от знака √(x^2 - x - 2). Так как под знаком квадратного корня находится положительное выражение (x^2 - x - 2 > 0), то √(x^2 - x - 2) > 0. Следовательно, f'(x) < 0 для x < 1.

- Если x > 1, то (x - 1) > 0. Знак производной f'(x) будет зависеть от знака √(x^2 - x - 2). Мы можем решить неравенство x^2 - x - 2 > 0, чтобы определить, когда √(x^2 - x - 2) > 0. Решая это неравенство, получаем x < -1 или x > 2. Так как мы рассматриваем интервалы, где x > 1, то √(x^2 - x - 2) > 0. Следовательно, f'(x) > 0 для x > 1.

3. Сводим результаты в таблицу:

x < 1    |   x > 1
-------------------
f'(x) < 0 | f'(x) > 0

Определение промежутков возрастания функции

Исходя из анализа знака производной, мы можем определить промежутки возрастания функции f(x) = √(x^2 - x - 2):

- Функция f(x) возрастает на интервале (-∞, 1) и на интервале (2, +∞).

Таким образом, функция f(x) возрастает на промежутках x ∈ (-∞, 1) и x ∈ (2, +∞).