Question

Решить неравенство 30 баллов : 4^x + 2^(x+1) =< 8

Answer 1

Решение смотри в приложении

Answer 2

Для решения неравенства 4^x + 2^(x+1) <= 8 нужно использовать методы алгебраического анализа. Давайте разберемся подробнее.

Первый шаг: Приведение неравенства к одной базе

В данном неравенстве имеются две различные степени, 4^x и 2^(x+1), с разными базами (4 и 2). Чтобы сравнивать их, нужно привести неравенство к одной базе. В данном случае, мы можем привести к базе 2, так как 2^2 = 4.

Заметим, что 4^x можно записать как (2^2)^x = 2^(2x), используя свойство степени. Тогда наше неравенство примет вид:

2^(2x) + 2^(x+1) <= 8

Второй шаг: Комбинирование подобных членов

Теперь, когда мы имеем неравенство с одной базой, мы можем комбинировать подобные члены. В данном случае, у нас есть два слагаемых с базой 2, поэтому мы можем их сложить:

2^(2x) + 2^(x+1) = 2^(2x) + 2 * 2^x

Третий шаг: Замена переменной

Для удобства, давайте заменим переменную. Пусть y = 2^x. Тогда наше неравенство примет вид:

y^2 + 2y <= 8

Четвертый шаг: Решение квадратного неравенства

Теперь мы имеем квадратное неравенство y^2 + 2y <= 8. Для его решения, мы можем переписать его в виде:

y^2 + 2y - 8 <= 0

Пятый шаг: Факторизация и определение знаков

Факторизуем полученное квадратное уравнение:

(y + 4)(y - 2) <= 0

Теперь, чтобы определить знаки, мы можем построить таблицу знаков:

| | y + 4 | y - 2 | | --- | ----- | ----- | | - | - | - | | 0 | 0 | 2 | | + | + | + |

Шестой шаг: Определение интервалов удовлетворения

Из таблицы знаков мы видим, что неравенство y^2 + 2y - 8 <= 0 выполняется для интервала [-4, 2].

Седьмой шаг: Обратная замена переменной

Теперь, чтобы получить решение исходного неравенства 4^x + 2^(x+1) <= 8, мы должны вернуться к переменной x, заменив y обратно на 2^x:

-4 <= 2^x <= 2

Восьмой шаг: Решение неравенства

Теперь мы можем решить неравенство 2^x:

-4 <= 2^x <= 2

Используя логарифмы, мы можем найти значения x:

log_2(-4) <= x <= log_2(2)

Однако, заметим, что логарифм отрицательного числа не определен вещественных числах. Поэтому, решением данного неравенства является интервал [0, log_2(2)].

Таким образом, решение исходного неравенства 4^x + 2^(x+1) <= 8 является интервалом [0, log_2(2)], где x принадлежит множеству вещественных чисел.