Question

2-cosx=2sinx²xsin2x=cos3x

Answer 1

2)

sin(2x)=cos(3x)

sin(2x)=cos(2x+x)

sin(2x)=sos(2x)*cos(x)-sin(2x)*sin(x)

sin(2x)=(1-2sin^2(x))*cos(x)-2sin(x)*cos(x)*sin(x)

sin(2x)=cos(x)-2sin^2(x)*cos(x)-2sin^2(x)*cos(x)

sin(2x)=cos(x)-4sin^2(x)*cos(x)

2sin(x)*cos(x)=cos(x)-4sin^2(x)*cos(x)

cos(x)*[2sin(x)+4sin^2(x)-1]=0

1.cos(x)=0

x=pi/2+pi*n

 

2. 4sin^2(x)+2sin(x)-1=0

    sin(x)=t

    4t^2+2t-1=0

     D=b^2-4ac=4+17=21

     t1,2=(-b±sqrt(D))/2a

     t1=(-2+sqrt(21)/8

     t2=(-2-sqrt(21)/8

   

    sin(x)=(-2+sqrt(21))/8

    x=(-1)^n*arcsin(-2+sqrt(21))/8+pi*n

 

    sin(x)=(-2-sqrt(21))/8

    x=(-1)^n*arcsin(-2-sqrt(21))/8+pi*n

 

Answer 2

Давайте решим уравнение \(2 - \cos(x) = 2\sin(x)^2\) и уравнение \(x\sin(2x) = \cos(3x)\) поочередно.

1. \(2 - \cos(x) = 2\sin(x)^2\):

Перепишем уравнение, заменяя \(\sin(x)^2\) на \(1 - \cos(x)^2\), используя тригонометрическое тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\):

\[2 - \cos(x) = 2(1 - \cos(x)^2)\]

Упростим:

\[2 - \cos(x) = 2 - 2\cos(x)^2\]

Теперь выразим \(\cos(x)^2\) из уравнения:

\[\cos(x)^2 = \frac{1}{2}\]

Теперь найдем значения \(x\). Поскольку \(\cos(x)\) может быть \(\pm\sqrt{\frac{1}{2}}\), то у нас два случая:

a. \(\cos(x) = \sqrt{\frac{1}{2}}\):

\[x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

b. \(\cos(x) = -\sqrt{\frac{1}{2}}\):

\[x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

2. \(x\sin(2x) = \cos(3x)\):

Здесь решение более сложное. Сначала приведем \(\sin(2x)\) и \(\cos(3x)\) к виду, содержащему только синус и косинус:

\[\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\] \[\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)\]

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

\[x(2\sin(x)\cos(x)) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)\]

Разделим обе стороны на \(\cos(x)\), предполагая, что \(\cos(x) \neq 0\):

\[2x\sin(x) = 4\cos^2(x) - 3\]

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\sin(x) = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})\):

\[4x\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = 4\cos^2(x) - 3\]

Теперь можно заметить, что \(\cos(\frac{x}{2})\) сокращается с обеих сторон:

\[4x\sin(\frac{x}{2}) = 4\cos(x) - 3\]

Используем найденное ранее значение \(\cos(x)\) из первого уравнения:

\[4x\sin(\frac{x}{2}) = 4\sqrt{\frac{1}{2}} - 3\]

Теперь можно решить это уравнение, принимая во внимание, что \(\sin(\frac{x}{2})\) может быть \(\pm\sqrt{1 - \cos^2(\frac{x}{2})}\):

a. \(\sin(\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1}{2}}\):

\[x = \frac{\pi}{2} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

b. \(\sin(\frac{x}{2}) = -\sqrt{\frac{1}{2}}\):

\[x = \frac{3\pi}{2} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Таким образом, у уравнений есть общие корни при \(x = \frac{\pi}{2} + 4\pi n\) и \(x = \frac{3\pi}{2} + 4\pi n\), где \(n\) - целое число.