Question

Помогите решить:Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:a) y=-2x^3 + 36x^2 - 66x + 1 на отрезке [-2;2]б) y=1/2 cos2x + sinx на отрезке [0;п/2]

Answer 1

РЕШЕНИЕ
Экстремумы находим по корням первой производной.
1. 
Y(x) = -2*x³ + 36*x² - 66*x+1 - функция
Y'(x) = - 6*x² + 72*x - 66 - первая производная.
Находим корни -  решаем - D = 3600, x1 = 1, x2 = 11. 
Делаем вывод - в области определения только один корень.
Вычисляем при Х = 1.
Ymin(1) = -2+36-66+1 = - 31 - минимум - ОТВЕТ
Функция с отрицательным коэффициентом при Х³ - убывает.
Значит максимум на границе -  при Х = - 2
Вычисляем при Х = - 2
Ymax(-2) = 16+144+132+1 = 293 - максимум - ОТВЕТ 
Рисунок к задаче в приложении.
2. 
D(x) = [0;π/2] - область определения
Y(x) = sin(X) + 1/2*cos(X) - функция.
График функции - в приложении.
Y'(x) = cos(X) - sin(2*x) - производная.
Решаем уравнение
cos(x) - 2*sin(x)*cos(x) = 0
cos(x)*(1 - 2*sin(x))  = 0 
x1 = π/6, x2 = 0. 
Минимум при Х=0, Ymin(0) = 0.5 - ОТВЕТ
Максимум при Х = π/6 = 30°,  Ymax(π/6) = 0.75 - ОТВЕТ

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать методы дифференциального исчисления. Найдем производные функций и исследуем их на монотонность и наличие экстремумов.

Функция y = -2x^3 + 36x^2 - 66x + 1 на отрезке [-2;2]

Для начала, найдем производную функции y по x:

y' = d/dx (-2x^3 + 36x^2 - 66x + 1) = -6x^2 + 72x - 66

Чтобы найти экстремумы функции, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

-6x^2 + 72x - 66 = 0

Решая это квадратное уравнение, получим два значения x:

x1 = (-72 + sqrt(72^2 - 4*(-6)*(-66))) / (2*(-6)) ≈ 0.145

x2 = (-72 - sqrt(72^2 - 4*(-6)*(-66))) / (2*(-6)) ≈ 5.855

Теперь, чтобы определить, где функция достигает наибольшего и наименьшего значения на отрезке [-2;2], необходимо проверить значения функции в концах отрезка и найденные значения x1 и x2.

Вычислим значения функции в этих точках:

y(-2) = -2*(-2)^3 + 36*(-2)^2 - 66*(-2) + 1 = -2*(-8) + 36*4 + 66*2 + 1 = 16 + 144 + 132 + 1 = 293

y(2) = -2*2^3 + 36*2^2 - 66*2 + 1 = -2*8 + 36*4 - 66*2 + 1 = -16 + 144 - 132 + 1 = -3

y(x1) ≈ y(0.145) ≈ -2*0.145^3 + 36*0.145^2 - 66*0.145 + 1 ≈ -0.0026 + 0.7687 - 9.57 + 1 ≈ -7.8039

y(x2) ≈ y(5.855) ≈ -2*5.855^3 + 36*5.855^2 - 66*5.855 + 1 ≈ -928.41 + 1218.5 - 3866.03 + 1 ≈ -2576.94

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-2;2] равно -2576.94 и достигается в точке x ≈ 5.855, а наибольшее значение равно 293 и достигается в точке x = -2.

Функция y = 1/2 cos(2x) + sin(x) на отрезке [0;π/2]

Аналогично предыдущему примеру, найдем производную функции y по x:

y' = d/dx (1/2 cos(2x) + sin(x)) = -sin(2x) + cos(x)

Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

-sin(2x) + cos(x) = 0

На отрезке [0;π/2] нет решений для этого уравнения.

Теперь проверим значения функции в концах отрезка:

y(0) = 1/2 cos(2*0) + sin(0) = 1/2 cos(0) + 0 = 1/2 + 0 = 1/2

y(π/2) = 1/2 cos(2*π/2) + sin(π/2) = 1/2 cos(π) + 1 = -1/2 + 1 = 1/2

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [0;π/2] равно 1/2 и достигается в точке x = 0, а наибольшее значение также равно 1/2 и достигается в точке x = π/2.

Итак, наименьшее и наибольшее значения функций на заданных отрезках:

a) Для функции y = -2x^3 + 36x^2 - 66x + 1 на отрезке [-2;2]: - Наименьшее значение: -2576.94 (достигается в точке x ≈ 5.855) - Наибольшее значение: 293 (достигается в точке x = -2)

б) Для функции y = 1/2 cos(2x) + sin(x) на отрезке [0;π/2]: - Наименьшее значение: 1/2 (достигается в точке x = 0) - Наибольшее значение: 1/2 (достигается в точке x = π/2)