Question

Помогите, пожалуйста!) Решите уравнение: а)2cos^3x+cos(x-П)=0; б)x *знак принадлежности* (-П/2; П/2).

Answer 1

А)2cos³x+cos(x-π)=0;
2cos³x+cos(π-x)=0;
2cos³x-cosx=0;
cosx(2cos²x-1)=0;
cosx=0;
x=π/2+πn, n∈Z;
или
2cos²x-1=0;
2cos²x=1;
cos²x=1/2;
cosx=+-√2/2.
x=+-arccos(√2/2)+2πk, k∈Z;
x=+-π/4+2πk, k∈Z;
x=+-arccos(-√2/2)+2πk, k∈Z;
x=+-(π-π/4)+2πk, k∈Z;
x=+-3π/4+2πk, k∈Z.
б) x∈[-π/2;π/2].
По тригонометрической окружности можно определить, что корнями уравнения на данном отрезке являются числа:
-π/2; -π/4; π/4; π/2. 

Answer 2

Давайте решим уравнение по частям:

а) 2cos^3x + cos(x-П) = 0

Для начала, давайте применим формулу тригонометрии cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) ко второму слагаемому:

cos(x-П) = cos(x)cos(П) + sin(x)sin(П) = cos(x)(-1) + sin(x)(0) = -cos(x)

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

2cos^3x + (-cos(x)) = 0

Упростим:

2cos^3x - cos(x) = 0

Теперь давайте факторизуем это уравнение:

cos(x)(2cos^2x - 1) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных решения:

1) cos(x) = 0

2) 2cos^2x - 1 = 0

Решение первого уравнения cos(x) = 0 дает нам значения x, при которых cos(x) равно нулю. Это происходит, когда x = П/2 + Пk, где k - целое число.

Решение второго уравнения 2cos^2x - 1 = 0 дает нам значения x, при которых 2cos^2x равно 1. Для этого уравнения у нас есть два возможных решения: cos(x) = 1/√2 и cos(x) = -1/√2.

Для cos(x) = 1/√2, мы можем найти x, используя обратную функцию cos^-1:

x = cos^-1(1/√2) + 2Пk или x = -cos^-1(1/√2) + 2Пk, где k - целое число.

Для cos(x) = -1/√2, мы также можем найти x, используя обратную функцию cos^-1:

x = cos^-1(-1/√2) + 2Пk или x = -cos^-1(-1/√2) + 2Пk, где k - целое число.

Таким образом, решение уравнения 2cos^3x + cos(x-П) = 0 имеет вид:

x = П/2 + Пk x = -П/2 + Пk x = cos^-1(1/√2) + 2Пk x = -cos^-1(1/√2) + 2Пk x = cos^-1(-1/√2) + 2Пk x = -cos^-1(-1/√2) + 2Пk

где k - целое число.

Примечание: Знак принадлежности (-П/2; П/2) означает, что решения x должны находиться в пределах от -П/2 до П/2. Поэтому, при решении уравнения, мы должны выбирать только те значения x, которые попадают в этот интервал.