Question

1/cos^2x-4/sin^2x+6=0

Answer 1

Решение во вложениях. Удачи.

Answer 2

Для решения уравнения \( \frac{1}{\cos^2(x)} - \frac{4}{\sin^2(x)} + 6 = 0 \), мы можем использовать подход, основанный на заменах и тригонометрических тождествах. Давайте решим его пошагово.

Дано уравнение: \[ \frac{1}{\cos^2(x)} - \frac{4}{\sin^2(x)} + 6 = 0 \]

Первым шагом, умножим обе стороны уравнения на \(\cos^2(x) \cdot \sin^2(x)\) для избавления от знаменателей: \[ \sin^2(x) - 4\cos^2(x) + 6\cos^2(x)\sin^2(x) = 0 \]

Теперь давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами. Мы можем использовать тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) и заменить \(\sin^2(x)\) в уравнении: \[ (1 - \cos^2(x)) - 4\cos^2(x) + 6\cos^2(x)(1 - \cos^2(x)) = 0 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ 1 - \cos^2(x) - 4\cos^2(x) + 6\cos^2(x) - 6\cos^4(x) = 0 \]

Теперь объединим подобные члены: \[ -5\cos^2(x) - 6\cos^4(x) + 1 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos^2(x)\): \[ 6\cos^4(x) + 5\cos^2(x) - 1 = 0 \]

Теперь проведем замену, пусть \(t = \cos^2(x)\), тогда уравнение примет вид: \[ 6t^2 + 5t - 1 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\): \[ D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 \]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два корня: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ t = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{12} \]

\[ t = \frac{-5 \pm 7}{12} \]

У нас два случая:

1. \( t = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \) 2. \( t = \frac{-12}{12} = -1 \)

Так как \(\cos^2(x) = t\), то:

1. \( \cos^2(x) = \frac{1}{6} \) 2. \( \cos^2(x) = -1 \) - это не имеет физического смысла, так как квадрат косинуса не может быть отрицательным.

Теперь найдем значения \(x\):

1. \( \cos(x) = \pm \sqrt{\frac{1}{6}} \) 2. \( \cos(x) = \pm \sqrt{-1} \) - это тоже не имеет физического смысла, так как косинус не может быть мнимым числом.

Таким образом, у нас есть два действительных значения \(\cos(x)\):

\[ \cos(x) = \sqrt{\frac{1}{6}} \] \[ \cos(x) = -\sqrt{\frac{1}{6}} \]

Теперь, используя тригонометрические соотношения, мы можем найти соответствующие значения \(x\):

1. \( x = \arccos\left(\sqrt{\frac{1}{6}}\right) + 2k\pi \) 2. \( x = \arccos\left(-\sqrt{\frac{1}{6}}\right) + 2k\pi \), где \(k\) - целое число.

Это будут все решения исходного уравнения.