Question

5*(1/5)^cos2x=5^sin2x X=? X принадлежит (-7pi/2;2pi)

Answer 1

Решение записано на фотках

Answer 2

Давайте решим уравнение по шагам. Имеем уравнение:

\[ 5 \left(\frac{1}{5}\right)^{\cos(2x)} = 5^{\sin(2x)} + X \]

1. Упростим обе стороны уравнения:

\[ 5 \left(\frac{1}{5}\right)^{\cos(2x)} = 5^{\sin(2x)} + X \]

\[ \left(\frac{1}{5}\right)^{\cos(2x)} = 5^{\sin(2x) - 1} + \frac{X}{5} \]

2. Поскольку основания степеней одинаковые, можно приравнять показатели степени:

\[ \cos(2x) = \sin(2x) - 1 \]

3. Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества:

\[ \cos(2x) = \sin(2x) - 1 \]

\[ \cos(2x) + 1 = \sin(2x) \]

\[ \cos(2x) + 1 = 2\sin(x)\cos(x) \]

4. Заменим \(\cos(2x)\) на \(\cos^2(x) - \sin^2(x)\) и упростим:

\[ \cos^2(x) - \sin^2(x) + 1 = 2\sin(x)\cos(x) \]

\[ \cos^2(x) - \sin^2(x) + 1 = \sin(2x) \]

\[ \cos^2(x) - \sin^2(x) + 1 = 2\sin(x)\cos(x) \]

\[ \cos^2(x) - \sin^2(x) + 1 = 2\sin(x)(1 - \sin^2(x)) \]

\[ \cos^2(x) - \sin^2(x) + 1 = 2\sin(x) - 2\sin^3(x) \]

5. Заметим, что \(\cos^2(x) - \sin^2(x) + 1\) может быть записано как \(2\cos^2(x)\). Заменим это в уравнении:

\[ 2\cos^2(x) = 2\sin(x) - 2\sin^3(x) \]

\[ \cos^2(x) = \sin(x) - \sin^3(x) \]

6. Теперь воспользуемся тождеством \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\):

\[ 1 - \sin^2(x) = \sin(x) - \sin^3(x) \]

\[ \sin^3(x) - \sin^2(x) + \sin(x) - 1 = 0 \]

7. Решим это уравнение. Это кубическое уравнение относительно \(\sin(x)\), и его решение может быть нетривиальным.

После нахождения решения для \(\sin(x)\), мы можем использовать его для нахождения значений \(\cos(x)\) и затем подставить их в исходное уравнение, чтобы найти значение \(X\).

Извините за длинный процесс решения. Если вы хотите, я могу также попробовать использовать численные методы для приближенного решения уравнения.