Question

Решите уравнение 2cos в квадрате Х+5sin x+1=0

Answer 1

$2\cos^2x+5\sin x+1=0\\ 2(1-\sin^2x)+5\sin x+1=0\\ 2-2\sin^2x+5\sin x+1=0\\ 2\sin^2x-5\sin x-3=0$

Пусть $\sin x=t$, в результате получаем квадратное уравнение вида:
$2t^2-5t-3=0\\ D=25+24=49\\ t_1=-0.5\\ t_2=3$

Обратная замена

$\sin x=-0.5\\ x=(-1)^{k+1}\,\, *\,\, \frac{\pi}{6} + \pi k,k \in Z$

$\sin x=3$
Уравнение решений не имеет, т.к. синус принимает значения [-1;1].

Answer 2

Давайте решим уравнение 2cos^2(x) + 5sin(x) + 1 = 0 подробно.

Первым шагом мы можем заметить, что у нас есть квадрат косинуса и синуса в уравнении. Используя тригонометрическое тождество cos^2(x) + sin^2(x) = 1, мы можем переписать уравнение:

2(1 - sin^2(x)) + 5sin(x) + 1 = 0

Раскроем скобки:

2 - 2sin^2(x) + 5sin(x) + 1 = 0

Упростим выражение:

-2sin^2(x) + 5sin(x) + 3 = 0

Теперь давайте заменим sin(x) на переменную t, чтобы получить квадратное уравнение:

-2t^2 + 5t + 3 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя различные методы, например, метод дискриминанта или завершение квадрата. В данном случае, я воспользуюсь методом дискриминанта.

Сначала нам нужно найти дискриминант D:

D = b^2 - 4ac

где a = -2, b = 5 и c = 3. Подставим значения:

D = 5^2 - 4(-2)(3) = 25 + 24 = 49

Теперь, используя дискриминант, мы можем найти значения переменной t:

t = (-b ± √D) / (2a)

t = (-5 ± √49) / (2(-2))

Рассмотрим два случая:

1. t = (-5 + √49) / (2(-2))

t = (-5 + 7) / (-4) = 2 / (-4) = -1/2

2. t = (-5 - √49) / (2(-2))

t = (-5 - 7) / (-4) = -12 / (-4) = 3

Таким образом, мы получили два значения для переменной t: -1/2 и 3.

Теперь, чтобы найти значения угла x, мы можем использовать обратные тригонометрические функции. Например, для t = -1/2:

sin(x) = -1/2

x = arcsin(-1/2)

Обратная функция arcsin имеет несколько значений, так как sin(x) может иметь разные значения в разных квадрантах. В данном случае, мы можем рассмотреть два значения для x: -π/6 и -5π/6.

Аналогично, для t = 3:

sin(x) = 3

x = arcsin(3)

Поскольку синус не может быть больше 1, это уравнение не имеет решений.

Таким образом, уравнение 2cos^2(x) + 5sin(x) + 1 = 0 имеет два решения: x = -π/6 и x = -5π/6.