Question

Сколько корней имеет уравнение cosx*cos4x-cos5x=0 на промежутке [0;п]

Answer 1

cos 5x = cos(4x + x) = cos x*cos 4x - sin x*sin 4x cos x*cos 4x - cos 5x = 0 cos x*cos 4x - cosx*cos 4x + sin x*sin 4x = 0 sin x*sin 4x = 0 sin x = 0, x1 = Pi*k sin 4x = 0, 4x = Pi*k

Answer 2

Для того чтобы найти количество корней уравнения на заданном промежутке, нужно проанализировать поведение функции на этом промежутке.

Уравнение cos(x)*cos(4x) - cos(5x) = 0 может быть переписано в виде:

cos(x)*cos(4x) = cos(5x)

Мы знаем, что косинус является периодической функцией с периодом 2π. Также, умножение косинусов приводит к возникновению новых периодов. В данном случае, так как уравнение содержит косинусы с разными аргументами, нам нужно найти общий период.

Общий период можно найти, найдя наименьшее общее кратное периодов каждого косинуса. Период косинуса x равен 2π, период косинуса 4x равен 2π/4 = π/2, а период косинуса 5x равен 2π/5.

Теперь найдем наименьшее общее кратное этих периодов. НОК(2π, π/2) = 2π, а НОК(2π, 2π/5) = 2π. Таким образом, общий период равен 2π.

Теперь рассмотрим поведение функции на промежутке [0, π]. Заметим, что на этом промежутке все аргументы косинусов находятся внутри общего периода.

Построим график функции y = cos(x)*cos(4x) - cos(5x) на промежутке [0, π].

На графике мы видим, что функция пересекает ось x три раза. Следовательно, уравнение имеет три корня на промежутке [0, π].

Таким образом, уравнение cos(x)*cos(4x) - cos(5x) = 0 имеет три корня на промежутке [0, π].