Question

По двум взаимно перпендикулярным прямым движеутся равномерно две точки. Сейчас они обе находятся в точке пересечения прямых, а через 10 с расстояние между ними будет 1м. Найдите скорость каждой точки, если одна из них проходит за 3с столько же, сколько другая проходит за 4 с.

Answer 1

Пусть х и у - скорости точек. Тогда из условия имеем систему: (1 м = 100 см)

$(10x)^2+(10y)^2=10000;$

$3x=4y.$

Выражаем у через х из второго и подставляем в первое:

$y=\frac{3x}{4};$

$x^2+\frac{9x^2}{16}=100.$

Отсюда:

$x^2=\frac{16}{25}*100$

х = 8 см/с;   у = 6 см/с.

Ответ: 8 см/с;  6 см/с.

 

Answer 2

3/4=0,75; 1^2=1

Пусть х м/с - скорость одной точки, тогда скорость другой 0,75х м/с. За 10 секунд первая пройдёт расстояние 10х метров, а вторая - 0,75х*10=7,5х метров. По теореме Пифагора расстояние между ними будет $(10x)^2+(7,5x)^2$ или 1 метр.

Составим и решим уравнение:

$(10x)^2+(7,5x)^2=1$

$100x^2+56,25x^2=1$

$156,25x^2=1$

$x^2=\frac{1}{156,25}$

$x^2=0,0064$

Так как скорость - положительное число, то

х=0,08

0,75х=0,75*0,08=0,06

Ответ: одна из точек движется со скоростью 0,08 м/с, а другая - 0,06 м/с.

Answer 3

Давайте обозначим начальные координаты точек как \(A\) и \(B\), где они пересекаются, а их скорости как \(v_A\) и \(v_B\).

Сначала определим, как будут изменяться координаты точек с течением времени. Поскольку точки движутся вдоль взаимно перпендикулярных прямых, их движение можно описать следующим образом:

1. Координата точки \(A\) по оси \(x\) будет меняться как \(x_A = v_A \cdot t\). 2. Координата точки \(B\) по оси \(y\) будет меняться как \(y_B = v_B \cdot t\).

Через 10 секунд расстояние между точками будет 1 метр:

\[ x_A^2 + y_B^2 = 1 \]

Подставим выражения для \(x_A\) и \(y_B\):

\[ (v_A \cdot t)^2 + (v_B \cdot t)^2 = 1 \]

Теперь у нас есть уравнение, связывающее скорости и время. Мы также знаем, что одна из точек проходит за 3 секунды столько же, сколько другая проходит за 4 секунды:

\[ v_A \cdot 3 = v_B \cdot 4 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} (v_A \cdot t)^2 + (v_B \cdot t)^2 = 1 \\ v_A \cdot 3 = v_B \cdot 4 \end{cases} \]

Решим эту систему уравнений. Умножим второе уравнение на \(t^2\) и подставим в первое:

\[ (v_A \cdot t)^2 + (v_B \cdot t)^2 = \left(\frac{3}{4} \cdot v_A \cdot t\right)^2 + (v_B \cdot t)^2 = 1 \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ \frac{9}{16} \cdot v_A^2 \cdot t^2 + v_B^2 \cdot t^2 = 1 \]

Умножим обе стороны на \(16\) для упрощения:

\[ 9 \cdot v_A^2 \cdot t^2 + 16 \cdot v_B^2 \cdot t^2 = 16 \]

Теперь подставим значение \(v_B\) из второго уравнения (\(v_B = \frac{3}{4} \cdot v_A\)):

\[ 9 \cdot v_A^2 \cdot t^2 + 16 \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot v_A\right)^2 \cdot t^2 = 16 \]

Решим уравнение относительно \(v_A\):

\[ 9 \cdot v_A^2 \cdot t^2 + 9 \cdot v_A^2 \cdot t^2 = 16 \]

Суммируем члены:

\[ 18 \cdot v_A^2 \cdot t^2 = 16 \]

Разделим обе стороны на \(18 \cdot t^2\):

\[ v_A^2 = \frac{8}{9} \]

Теперь найдем \(v_B\) с использованием второго уравнения:

\[ v_B = \frac{3}{4} \cdot v_A = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{\frac{8}{9}} \]

Теперь мы знаем скорости \(v_A\) и \(v_B\). Подставим значения \(t = 10\) секунд, чтобы найти конечные координаты точек:

\[ x_A = v_A \cdot t, \quad y_B = v_B \cdot t \]

Таким образом, мы можем определить конечные координаты точек \(A\) и \(B\).