Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y= , y=0, x=3

Answer 1

Во первых напишем границы фигуры:
$[0,3]$
Теперь определенный интеграл:
$\int\limits^3_0 {x^2} \, dx= \frac{1}{3}(x^3)\Big|_0^3= \frac{1}{3}(27-0)=9$

Answer 2

Конечно, я помогу! Фигура, ограниченная линиями \(y = 0\), \(y = x\), и \(x = 3\), представляет собой треугольник.

Сначала посмотрим на уравнения, чтобы понять, как выглядит эта область на плоскости.

\(y = 0\) - это ось x. \(y = x\) - это прямая, которая проходит через начало координат под углом 45 градусов. \(x = 3\) - это вертикальная линия на расстоянии 3 от начала координат.

Теперь нам нужно найти точки пересечения этих линий, чтобы определить вершины треугольника.

1. \(y = 0\) и \(y = x\): \[0 = x \Rightarrow x = 0\] Точка пересечения с \(y = 0\) это \((0, 0)\).

2. \(y = x\) и \(x = 3\): \[y = 3\] Точка пересечения с \(x = 3\) это \((3, 3)\).

Таким образом, у нас есть две вершины треугольника: \((0, 0)\), \((3, 3)\) и третья вершина находится на оси \(x = 3\), где \(y = 0\). Так как это прямоугольный треугольник, его площадь можно найти по формуле для площади прямоугольного треугольника: \(\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\).

Основание этого треугольника - это его высота, и оно равно длине \(x\)-координаты третьей вершины, то есть \(3\).

\(\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2} = 4.5\) квадратных единицы.

Итак, площадь этой фигуры, ограниченной линиями \(y = 0\), \(y = x\) и \(x = 3\), составляет \(4.5\) квадратных единицы.