Question

Решить уравнения: а)Sin4x + cos^2 2x = 2 б)cos^4(3/2)x-sin^4(3/2)x=1/2

Answer 1

А)$sin4x+cos^22x=2 \\ 2sin2xcos2x+cos^22x-2cos^22x-2sin^22x=0 \\ 2sin^22x-2sin2xcos2x+cos^22x=0 |:cos^22x \neq 0 \\ 2tg^22x-2tg2x+1=0 \\ tg2x=t \\ 2t^2-2t+1=0 \\ D\ \textless \ 0$
Действительных корней нет.
б)
$cos^4( \frac{3x}{2} )-sin^4( \frac{3x}{2} )= \frac{1}{2} \\ (cos^2( \frac{3x}{2} )-sin^2( \frac{3x}{2} ))(cos^2( \frac{3x}{2} )+sin^2( \frac{3x}{2} ))= \frac{1}{2} \\ cos^2( \frac{3x}{2} )-sin^2( \frac{3x}{2} )= \frac{1}{2} \\ cos^2( \frac{3x}{2} )-(1-cos^2( \frac{3x}{2} ))= \frac{1}{2} \\ 2cos^2( \frac{3x}{2} )= \frac{3}{2} \\ cos^2( \frac{3x}{2} )= \frac{3}{4} \\ cos( \frac{3x}{2} )= \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \frac{3x}{2} =+- \frac{ \pi }{6} +2 \pi n$
$x=+- \frac{ \pi }{9} + \frac{2 \pi n}{3} \\ cos( \frac{3x}{2} )=- \frac{ \sqrt{3}}{2} \\ x=+- \frac{5 \pi }{9} + \frac{2 \pi n}{3}$
n∈Z

Answer 2

а) Начнем с уравнения Sin4x + cos^2(2x) = 2.

Заметим, что sin4x можно представить в виде 2sin2xcos2x, используя формулу двойного угла. Таким образом, уравнение примет вид:

2sin2xcos2x + cos^2(2x) = 2.

Заменим cos^2(2x) на 1 - sin^2(2x):

2sin2xcos2x + 1 - sin^2(2x) = 2.

Упростим выражение:

2sin2xcos2x - sin^2(2x) = 1.

Вынесем общий множитель sin^2(2x):

sin^2(2x)(2cos2x - 1) = 1.

Теперь рассмотрим два случая:

1) sin^2(2x) = 0:

Это означает, что sin(2x) = 0. Решим это уравнение:

2x = 0, π, 2π, ...

x = 0, π/2, π, ...

2) 2cos2x - 1 = 0:

Решим это уравнение:

2cos2x = 1,

cos2x = 1/2,

2x = π/3, 5π/3, ...

x = π/6, 5π/6, ...

Таким образом, решения уравнения Sin4x + cos^2(2x) = 2:

x = 0, π/2, π/6, 5π/6, π, ...

б) Перейдем к уравнению cos^4(3/2)x - sin^4(3/2)x = 1/2.

Сначала заметим, что cos^4(3/2)x и sin^4(3/2)x можно представить в виде (cos^2(3/2)x)^2 и (sin^2(3/2)x)^2 соответственно.

Тогда уравнение примет вид:

(cos^2(3/2)x)^2 - (sin^2(3/2)x)^2 = 1/2.

Разложим разность квадратов:

(cos^2(3/2)x + sin^2(3/2)x)(cos^2(3/2)x - sin^2(3/2)x) = 1/2.

Упростим:

1(cos^2(3/2)x - sin^2(3/2)x) = 1/2.

cos^2(3/2)x - sin^2(3/2)x = 1/2.

Заменим cos^2(3/2)x на 1 - sin^2(3/2)x:

1 - sin^2(3/2)x - sin^2(3/2)x = 1/2.

2sin^2(3/2)x = 1/2.

sin^2(3/2)x = 1/4.

sin(3/2)x = ±1/2.

Решим это уравнение:

3/2x = π/6 + 2πn, 5π/6 + 2πn,

3/2x = 5π/6 + 2πn, 11π/6 + 2πn,

где n - целое число.

x = (π/6 + 2πn) * (2/3), (5π/6 + 2πn) * (2/3),

x = (5π/6 + 2πn) * (2/3), (11π/6 + 2πn) * (2/3),

где n - целое число.

Таким образом, решения уравнения cos^4(3/2)x - sin^4(3/2)x = 1/2:

x = (π/6 + 2πn) * (2/3), (5π/6 + 2πn) * (2/3),

x = (5π/6 + 2πn) * (2/3), (11π/6 + 2πn) * (2/3),

где n - целое число.