Question

Пожалуйста,помогите решить уравнение:2sin³x-2sinx+cos²x=0 (если можно, то с объяснениями.)

Answer 1

Arcsin((1/6)*(-10+(6*I)*sqrt(111))^(1/3)+8/(3*(-10+(6*I)*sqrt(111))^(1/3))+1/3), -arcsin((1/12)*(-10+(6*I)*sqrt(111))^(1/3)+4/(3*(-10+(6*I)*sqrt(111))^(1/3))-1/3-(1/2*I)*sqrt(3)*((1/6)*(-10+(6*I)*sqrt(111))^(1/3)-8/(3*(-10+(6*I)*sqrt(111))^(1/3)))), arcsin(-(1/12)*(-10+(6*I)*sqrt(111))^(1/3)-4/(3*(-10+(6*I)*sqrt(111))^(1/3))+1/3-(1/2*I)*sqrt(3)*((1/6)*(-10+(6*I)*sqrt(111))^(1/3)-8/(3*(-10+(6*I)*sqrt(111))^(1/3))))

Answer 2

Конечно, давайте решим это уравнение по шагам.

У нас дано уравнение: \(2 \sin^3 x - 2 \sin x + \cos^2 x = 0\).

Давайте заменим \(\cos^2 x\) на \(1 - \sin^2 x\) (используя тригонометрическую тождественность \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)):

\(2 \sin^3 x - 2 \sin x + 1 - \sin^2 x = 0\).

Теперь давайте перепишем это уравнение в квадратном виде, используя \(\sin x\) как переменную:

У нас есть \(2 \sin^3 x - \sin^2 x - 2 \sin x + 1 = 0\).

Это квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Давайте сделаем замену, представляя \(\sin x\) как новую переменную \(y\):

\(2y^3 - y^2 - 2y + 1 = 0\).

Это уравнение уже можно решить методом подстановки или другими методами для решения кубических уравнений.

Давайте попробуем найти решение:

Заметим, что \(y = 1\) является решением этого уравнения (если подставить \(y = 1\), мы получим \(2 - 1 - 2 + 1 = 0\)).

Теперь давайте разделим уравнение на \((y - 1)\) с помощью синтетического деления:

\(2y^3 - y^2 - 2y + 1 = (y - 1)(2y^2 + y - 1) = 0\).

Таким образом, у нас есть два уравнения:

1. \(y - 1 = 0\), что дает \(y = 1\). 2. \(2y^2 + y - 1 = 0\).

Давайте решим квадратное уравнение \(2y^2 + y - 1 = 0\) с помощью формулы для квадратного уравнения:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\],

где \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -1\).

\[y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}\] \[y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}\] \[y = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4}\] \[y = \frac{-1 \pm 3}{4}\]

Это дает два решения:

1. \(y = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) 2. \(y = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1\)

Итак, мы нашли три возможных значения \(y\): \(1\), \(\frac{1}{2}\) и \(-1\).

Теперь давайте вернемся к исходной переменной \(\sin x\):

1. \(y = \sin x = 1\). 2. \(y = \sin x = \frac{1}{2}\). 3. \(y = \sin x = -1\).

Однако \(\sin x\) не может быть больше 1 или меньше -1 (значения синуса ограничены диапазоном от -1 до 1), следовательно, \(\sin x = 1\) является единственным решением.

Таким образом, мы получаем \(\sin x = 1\). Это происходит при \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), где \(n\) - любое целое число.

Так что решение уравнения \(2 \sin^3 x - 2 \sin x + \cos^2 x = 0\) это \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.