Question

Вычислите производную функции: 1) y=x^4+2x^3+6x^2-7 в точке x=2 2) y=(x^2+1)/x в точке x=1 3) y=(5x-7)^3 в точке x=-2 4) y=2√(4x-5) в точке x=5 5) y=4sin3x в точке x=π/2 Напишите решение с объяснением.

Answer 1

$1) y=x^4+2x^3+6x^2-7 \\ y'=4x^3+6x^2+12x;x=2 \\ y'(2)=4*8+6*4+12*2=32+24+24 \\ y'(2)=80 \\ 2)y= \frac{x^2+1}{x} \\ y'= \frac{2x*x-(x^2+1)*1}{x^2} = \frac{2x^2-x^2-1}{x^2}= \frac{x^2-1}{x^2 } \\ x=1 \\ y'(1)= \frac{1^2-1}{1^2}= \frac{0}{1}=0 \\ y'(1)=0 \\ 3) y=(5x-7)^3 \\ y'=3(5x-7)^2*5x=15x(5x-7)^2 \\ x=-2 \\ y'(-2)=-30(-10-7)^2=-30*289=-867 \\ y'(-2)=-867 \\ 4) y= \sqrt{4x-5} \\ y'= \frac{4}{2 \sqrt{4x-5} }= \frac{2}{ \sqrt{4x-5} } \\ y'(5)= \frac{2}{ \sqrt{3} }$
$5) y=4sin3x \\ y'=3*4cos3x=12cos3x \\ x= \frac{\pi}{2} \\ y'( \frac{\pi}{2})=12cos \frac{3}{2}\pi=12*0=0 \\ y'( \frac{\pi}{2})=0$

Answer 2

1) Вычисление производной функции y = x^4 + 2x^3 + 6x^2 - 7 в точке x = 2

Для вычисления производной функции y = x^4 + 2x^3 + 6x^2 - 7 в точке x = 2, мы можем использовать правило дифференцирования степенной функции и суммы функций.

Производная функции y = x^4 + 2x^3 + 6x^2 - 7 будет равна сумме производных каждого слагаемого: - Производная слагаемого x^4 равна 4x^3. - Производная слагаемого 2x^3 равна 6x^2. - Производная слагаемого 6x^2 равна 12x. - Производная константы -7 равна 0, так как производная константы всегда равна нулю.

Таким образом, производная функции y = x^4 + 2x^3 + 6x^2 - 7 в точке x = 2 будет равна: y' = 4x^3 + 6x^2 + 12x

Подставляя x = 2, получаем: y' = 4(2)^3 + 6(2)^2 + 12(2) y' = 32 + 24 + 24 y' = 80

Таким образом, производная функции y = x^4 + 2x^3 + 6x^2 - 7 в точке x = 2 равна 80.