Question

Розв'яжіть нерівність (3x-2)(x+3)≥2x²+12

Answer 1

\left (3 x - 2\right ) \cdot \left (x + 3\right ) \geq 2 x^{2} + 12

Answer 2

Для розв'язання даної нерівності, спочатку розкриємо дужки і зведемо подібні доданки:

(3x - 2)(x + 3) ≥ 2x² + 12

3x * x + 3x * 3 - 2 * x - 2 * 3 ≥ 2x² + 12

3x² + 9x - 2x - 6 ≥ 2x² + 12

Згрупуємо подібні доданки:

3x² + 7x - 6 ≥ 2x² + 12

Віднімемо 2x² з обох боків рівняння:

3x² - 2x² + 7x - 6 ≥ 2x² - 2x² + 12

x² + 7x - 6 ≥ 12

Тепер перенесемо всі доданки на одну сторону рівняння, щоб отримати квадратне рівняння:

x² + 7x - 6 - 12 ≥ 0

x² + 7x - 18 ≥ 0

Розв'язання квадратного рівняння

Для розв'язання цього квадратного рівняння, ми можемо скористатися факторизацією, знаходженням коренів або використанням квадратного кореня.

Факторизація:

Ми шукаємо два числа, які мають суму 7 і добуток -18. Знайдемо такі числа:

-3 і 6

Тоді ми можемо факторизувати квадратне рівняння:

(x - 3)(x + 6) ≥ 0

Тепер розглянемо три можливі випадки:

1. Якщо (x - 3)(x + 6) > 0, тоді обидва добутки мають однаковий знак, який є додатнім. Це означає, що рівняння задовольняє нерівність тільки тоді, коли обидва добутки більше нуля.

2. Якщо (x - 3)(x + 6) < 0, тоді добутки мають протилежний знак, один додатній, а інший від'ємний. Це означає, що рівняння задовольняє нерівність тільки тоді, коли один добуток менше нуля, а інший більше нуля.

3. Якщо (x - 3)(x + 6) = 0, тоді один з добутків дорівнює нулю. Це означає, що рівняння задовольняє нерівність тільки тоді, коли один з добутків дорівнює нулю.

Розв'язання нерівності

Тепер розглянемо кожен з трьох випадків окремо:

1. (x - 3)(x + 6) > 0

У цьому випадку, обидва добутки мають однаковий знак, який є додатнім. Це означає, що рівняння задовольняє нерівність тільки тоді, коли обидва добутки більше нуля. Для перевірки цього випадку, ми можемо побудувати число знаків. Візьмемо дві довільні точки з трьох можливих: x < -6, -6 < x < 3, x > 3. Перевіримо знаки на цих інтервалах