Question

В треугольнике ABC биссектриса AT и медиана BE пересекаются в точке D. Точка M делит отрезок AE пополам. Найти DM:AC, если BC=3BT.

Answer 1

АТ биссектрисса⇒AB/BT=AC/TC
BC=3BT⇒TC=2BT
AB/BT=AC=2BT⇒AC=2AB
ВЕ медиана⇒АЕ=ЕС=1/2^AC=AB
М середина АЕ⇒МЕ=1/4*АС=1/2*АВ
MD/AB=ME/AE
MD/AB=1/2*AB:AB
MD=1/2*AB
MD:AC=1/2*AB:2AB=1:4

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем использовать свойства биссектрисы и медианы в треугольнике, а также свойства деления отрезков пропорционально.

Пусть \(BC = 3BT = 3x\) (дано условие задачи). Также обозначим \(BE = y\) для удобства рассуждений.

Известно, что биссектриса делит противоположную сторону треугольника пропорционально отношением двух других сторон. Таким образом, мы можем записать:

\(\frac{CE}{EA} = \frac{BC}{BA}\)

Учитывая, что \(BC = 3x\) и что \(BA = 4x\) (так как биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные другим сторонам треугольника), получаем:

\(\frac{CE}{EA} = \frac{3x}{4x}\)

Сократив на \(x\), получаем:

\(\frac{CE}{EA} = \frac{3}{4}\)

Теперь у нас есть информация о том, что точка \(M\) делит отрезок \(AE\) пополам, то есть \(AM = ME\). Таким образом, \(AE = 2AM\) и \(EA = 3AM\).

Из уравнения \(\frac{CE}{EA} = \frac{3}{4}\) мы можем представить \(CE\) через \(EA\):

\(\frac{CE}{3AM} = \frac{3}{4}\)

Отсюда находим \(CE\):

\(CE = \frac{9}{4} \cdot AM\)

Теперь обратим внимание на треугольник \(ABC\). Медиана делит сторону пополам. Значит, \(BE = \frac{y}{2}\), \(ME = \frac{y}{2}\).

Теперь рассмотрим треугольник \(BDE\). Так как точка \(M\) делит \(AE\) пополам, то \(AM = ME = \frac{y}{2}\).

Таким образом, \(BM = \frac{3y}{2}\), \(DE = \frac{3y}{2}\).

Из этого следует, что \(BD = \frac{3y}{2}\) (так как \(BD = DE\)).

Теперь обратимся к треугольнику \(BDC\). Мы знаем, что \(BD = DC = \frac{3y}{2}\) и что \(BC = 3x\).

С учетом того, что \(BC = 3x\) и \(BD = \frac{3y}{2}\), мы можем записать:

\(\frac{BD}{BC} = \frac{\frac{3y}{2}}{3x} = \frac{y}{2x}\)

Теперь вернемся к точке \(D\) на медиане \(BE\). Мы знаем, что \(DM\) является половиной \(DE\) (поскольку \(M\) делит \(AE\) пополам). Таким образом, \(DM = \frac{3y}{4}\).

Также, мы знаем, что \(AC = 2BD\) (это свойство медианы). Значит, \(AC = 3y\).

Итак, чтобы найти \(\frac{DM}{AC}\), подставим значения \(DM\) и \(AC\):

\(\frac{DM}{AC} = \frac{\frac{3y}{4}}{3y} = \frac{1}{4}\)

Таким образом, \(\frac{DM}{AC} = \frac{1}{4}\).