Question

1. Докажите тождество: (1-cos^2t/1-sin^2t) + tgt*ctgt = 1/cos^2t2. Известно, что sint =-15/17, П<t<3П/2. Вычислите cost, tgt, ctgt.

Answer 1

1. (1 - cos^2t / 1-sin^2t) + tgt*ctgt = 1 / cos^2t
sin^2t / cos^2t + 1 = (sin^2t + cos^2t) / cos^2t = 1 / cos^2t
1/cos^2t = 1/cos^2t
2. sint = -15/17
cos^2t = 1 - sin^2t = 1 - 225/289 = 64/289
cost = -8/17
tgt = sint/cost
tgt = 15*17/17*8 = 15/8
ctgt = 1/tgt = 8/15

Answer 2

Давайте рассмотрим данное тождество и докажем его.

1. Докажем тождество: (1 - cos^2(t))/(1 - sin^2(t)) + tan(t) * cot(t) = 1/cos^2(t)

Для начала, заметим, что: (1 - cos^2(t))/(1 - sin^2(t)) = sin^2(t)/cos^2(t)

Также, tan(t) = sin(t)/cos(t) и cot(t) = cos(t)/sin(t).

Теперь, заменим tan(t) и cot(t) в выражении:

(sin^2(t)/cos^2(t)) + (sin(t)/cos(t)) * (cos(t)/sin(t))

Упростим:

(sin^2(t)/cos^2(t)) + 1

Вспомним, что sin^2(t) + cos^2(t) = 1 (это тождество тригонометрии, известное как тождество Пифагора).

Подставим это в выражение:

(sin^2(t)/cos^2(t)) + 1 = (sin^2(t)/cos^2(t)) + (cos^2(t)/cos^2(t)) = (sin^2(t) + cos^2(t))/cos^2(t) = 1/cos^2(t)

Таким образом, мы доказали данное тождество.

2. Теперь давайте решим задачу, где дано, что sin(t) = -15/17 и -π/2 < t < 3π/2. Мы должны вычислить cos(t), tan(t) и cot(t).

Известно, что sin(t) = -15/17. Поскольку sin(t) = противоположная/гипотенуза, мы можем найти соседнюю сторону треугольника с помощью теоремы Пифагора:

cos(t) = sqrt(1 - sin^2(t)) = sqrt(1 - (-15/17)^2) = sqrt(1 - 225/289) = sqrt(289/289 - 225/289) = sqrt(64/289) = 8/17 (поскольку cos(t) > 0 в данном случае)

Теперь, чтобы найти tan(t), мы можем использовать отношение sin(t)/cos(t):

tan(t) = sin(t)/cos(t) = (-15/17)/(8/17) = -15/8

И, наконец, чтобы найти cot(t), мы можем использовать отношение cos(t)/sin(t):

cot(t) = cos(t)/sin(t) = (8/17)/(-15/17) = -8/15

Таким образом, мы получили значения cos(t) = 8/17, tan(t) = -15/8 и cot(t) = -8/15.