Question

Найти критические точки функции f(x)=3x^5-5x^3. Помогите пожалуйста

Answer 1

Для начала найдем производную:
f"(x)=15x⁴ - 15x²
Приравняем ее к нулю:
15x⁴ -15x²=0
Решим уравнение,разложим его на множители:
15x²*(x²-1)=0
x=0 или x+1=0 или x-1=0
Получим х=0, х=-1, х=1
Это и есть критическе точки.

Answer 2

Критические точки функции \(f(x) = 3x^5 - 5x^3\) можно найти, вычислив её производную и приравняв её к нулю.

1. Найдем производную: \[f'(x) = 15x^4 - 15x^2.\]

2. Приравняем производную к нулю: \[15x^4 - 15x^2 = 0.\]

3. Решим уравнение: \[15x^2(x^2 - 1) = 0.\]

Получаем два случая: - \(15x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\), - \(x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1\).

Таким образом, у нас три критические точки: \(x = -1, 0, 1\).

4. Проверим значения второй производной: \[f''(x) = 60x^3 - 30x.\]

- Для \(x = -1\): \(f''(-1) = -30 - 30 = -60 < 0\), что означает, что в точке \(x = -1\) функция имеет локальный максимум. - Для \(x = 0\): \(f''(0) = 0\), не достаточно информации. - Для \(x = 1\): \(f''(1) = 30 - 30 = 0\), не достаточно информации.

Таким образом, у нас есть локальный максимум в точке \(x = -1\), но для точек \(x = 0\) и \(x = 1\) нужно дополнительное исследование (например, можно использовать вторую производную или тест знаков).

Вывод: - Критические точки: \(x = -1, 0, 1\). - Локальный максимум в точке \(x = -1\). - Для точек \(x = 0\) и \(x = 1\) требуется дополнительное исследование.