Question

Известно, что а + b + с = 2012, 1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)=1 Найдите значение выражения a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)

Answer 1

a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)+1+1+1-3=

=(a/(b+c)+1)+(b/(a+c)+1)+(c/(a+b)+1)=

(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(a+c)+(a+b+c)/(a+b)-3=

(a+b+c)(1/(b+c)+1/(a+c)+1/(a+b))-3=

=2012*1-3=2009

Answer 2

Давайте рассмотрим данные условия более подробно.

У нас есть три переменные \(a\), \(b\) и \(c\), и известно, что:

\[a + b + c = 2012\]

Также известно, что:

\[\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+c} = 1\]

Нам нужно найти значение выражения:

\[E = \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b}\]

Давайте решим это.

Сначала рассмотрим уравнение:

\[\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+c} = 1\]

Умножим обе стороны на \((a+b)(b+c)(a+c)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[(b+c)(a+c) + (a+b)(a+c) + (a+b)(b+c) = (a+b)(b+c)(a+c)\]

Раскроем скобки:

\[(b^2 + bc + ac + c^2) + (a^2 + ac + ab + bc) + (a^2 + ab + b^2 + bc) = (a+b)(b+c)(a+c)\]

Упростим:

\[2(a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc) = (a+b+c)(a+b)(b+c)(a+c)\]

Теперь подставим значение \(a+b+c = 2012\):

\[2(a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc) = 2012(a+b)(b+c)(a+c)\]

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает \(a\), \(b\) и \(c\). Давайте используем это, чтобы выразить одну из переменных через другие и подставить в выражение \(E\).

Сначала рассмотрим выражение \(E\):

\[E = \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b}\]

Теперь заметим, что:

\[\frac{a}{b+c} = \frac{a^2}{a(b+c)} = \frac{a^2}{ab+ac}\]

Аналогично для остальных двух членов. Теперь подставим это в \(E\):

\[E = \frac{a^2}{ab+ac} + \frac{b^2}{ab+bc} + \frac{c^2}{ac+bc}\]

Теперь объединим все члены с общими знаменателями:

\[E = \frac{a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b)}{(ab+ac)(a+b) + (ab+bc)(b+c) + (ac+bc)(a+c)}\]

Теперь мы можем подставить значение \(a+b+c = 2012\) и уравнение, связывающее \(a\), \(b\) и \(c\):

\[E = \frac{a^2(2012-c) + b^2(2012-a) + c^2(2012-b)}{(ab+ac)(2012) + (ab+bc)(2012) + (ac+bc)(2012)}\]

Теперь можем подставить уравнение \(2(a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc) = 2012(a+b)(b+c)(a+c)\):

\[E = \frac{a^2(2012-c) + b^2(2012-a) + c^2(2012-b)}{(2(a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc))(2012)}\]

Теперь у нас есть выражение для \(E\), и его можно вычислить, зная значения переменных \(a\), \(b\) и \(c\).