Question

Найти значение x, при которых значение производной функции F(x) равно 0 ; положительно; отрицательно: 1) f(x)=x+ln 2x 2) f(x)=x+ln (3x+1)

Answer 1

Для первого: f ' (x)=1+2/х; f ' =0, x=-2; f ' >0, x>-2; f ' <0, x<-2. Для второго: f ' =1+3/(3x+1); f ' =0, x=-4/3; f ' >0, x> -4/3; f ' <0, x<-4/3.

Answer 2

1) Рассмотрим функцию f(x) = x + ln(2x). Чтобы найти значения x, при которых значение производной функции равно 0, найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

f'(x) = 1 + (1/x) = 0

Выразим x:

1/x = -1 x = -1/1 x = -1

Таким образом, значение x, при котором значение производной функции f(x) равно 0, равно -1.

2) Рассмотрим функцию f(x) = x + ln(3x + 1). Чтобы найти значения x, при которых значение производной функции равно 0, найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

f'(x) = 1 + (3/(3x + 1)) = 0

Выразим x:

3/(3x + 1) = -1 3 = -3x - 1 3x = -4 x = -4/3

Таким образом, значение x, при котором значение производной функции f(x) равно 0, равно -4/3.

Теперь рассмотрим знак производной функции в окрестности найденных значений x:

1) Для функции f(x) = x + ln(2x) в окрестности x = -1.

f'(-2) = 1 + (1/(-2)) = 1 - 1/2 = 1/2 > 0 f'(0) = 1 + (1/0) = ∞ f'(-1/2) = 1 + (1/(-1/2)) = 1 - 2 = -1 < 0

Таким образом, в окрестности x = -1 производная функции f(x) положительна слева и отрицательна справа.

2) Для функции f(x) = x + ln(3x + 1) в окрестности x = -4/3.

f'(-2) = 1 + (3/(3(-2) + 1)) = 1 - 3/5 = 2/5 > 0 f'(0) = 1 + (3/(3(0) + 1)) = 1 + 3 = 4 > 0 f'(-1/2) = 1 + (3/(3(-1/2) + 1)) = 1 - 3/2 = -1/2 < 0

Таким образом, в окрестности x = -4/3 производная функции f(x) положительна слева и отрицательна справа.

Вывод: для функции f(x) = x + ln(2x) значение производной равно 0 при x = -1, и производная положительна слева и отрицательна справа. Для функции f(x) = x + ln(3x + 1) значение производной равно 0 при x = -4/3, и производная положительна слева и отрицательна справа.