Question

В геометрической прогрессии сумма первых трех членов равна 9, а сумма первых шести членов равна -63. Найти сумму первых десяти членов прогрессии.

Answer 1

S3=b1×(1-q^3)/(1-q)=9
S6=b1(1-q^6)/(1-q)=-63. решаем систему двух уравнений, разделим второе на первое, получаем
1+q^3=-7
q=-2. ,b1=3
S10=3×(1-(-2)^10)/(1--2)=1025

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии через \(a\), а знаменатель (отношение между любыми двумя последовательными членами) обозначим через \(q\).

Таким образом, первый член прогрессии \(a_1 = a\), второй член \(a_2 = a \cdot q\), третий член \(a_3 = a \cdot q^2\), и так далее.

Сумма первых трех членов прогрессии равна \(S_3 = a + a \cdot q + a \cdot q^2 = 9\).

Сумма первых шести членов прогрессии равна \(S_6 = a + a \cdot q + a \cdot q^2 + a \cdot q^3 + a \cdot q^4 + a \cdot q^5 = -63\).

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

\[ \begin{align*} a + a \cdot q + a \cdot q^2 &= 9 \quad \text{(1)} \\ a + a \cdot q + a \cdot q^2 + a \cdot q^3 + a \cdot q^4 + a \cdot q^5 &= -63 \quad \text{(2)} \end{align*} \]

Выразим \(a\) из первого уравнения:

\[ a = \frac{9}{1 + q + q^2} \]

Теперь подставим это выражение для \(a\) во второе уравнение:

\[ \frac{9}{1 + q + q^2} + \frac{9 \cdot q}{1 + q + q^2} + \frac{9 \cdot q^2}{1 + q + q^2} + \frac{9 \cdot q^3}{1 + q + q^2} + \frac{9 \cdot q^4}{1 + q + q^2} + \frac{9 \cdot q^5}{1 + q + q^2} = -63 \]

Теперь домножим обе стороны на знаменатель:

\[ 9 + 9q + 9q^2 + 9q^3 + 9q^4 + 9q^5 = -63(1 + q + q^2) \]

Раскроем скобки:

\[ 9 + 9q + 9q^2 + 9q^3 + 9q^4 + 9q^5 = -63 - 63q - 63q^2 \]

Сгруппируем все члены слева:

\[ 72q^2 + 72q + 72 + 9q^5 + 9q^4 + 9q^3 = 0 \]

Теперь мы можем упростить это уравнение и решить его. После нахождения корней \(q\), мы можем использовать найденное значение \(q\) для вычисления первого члена \(a\) и затем использовать формулу суммы первых десяти членов геометрической прогрессии:

\[ S_{10} = a \cdot \frac{q^{10} - 1}{q - 1} \]