Question

В задачах 1, 2 вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями 1. y=lnx, x=e, x=e^2, y=0 2. p=2(1-cosф)

Answer 1

Вложение .......................................

Answer 2

1. Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=lnx, x=e, x=e^2 и y=0, мы можем использовать интеграл.

Сначала найдем точки пересечения линий. Линия y=lnx пересекает ось x в точке (1,0) и линию x=e в точке (e,ln(e)). Линия x=e^2 пересекает линию y=lnx в точке (e^2,ln(e^2)).

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя интеграл. Поскольку фигура ограничена линиями y=lnx и y=0, мы будем интегрировать функцию y=lnx от x=1 до x=e. Формула для вычисления площади фигуры между двумя кривыми y=f(x) и y=g(x) на интервале [a,b] выглядит следующим образом:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

В данном случае, f(x) = lnx и g(x) = 0, a=1 и b=e. Таким образом, площадь фигуры будет равна:

S = ∫[1,e] (lnx - 0) dx

Для вычисления этого интеграла, мы можем использовать формулу интеграла от натурального логарифма:

∫lnx dx = xlnx - x + C

Применяя эту формулу, получим:

S = [xlnx - x] [1,e] = (e * lne - e) - (1 * ln1 - 1)

Так как lne = 1 и ln1 = 0, мы можем упростить это выражение:

S = e - e - (-1) = -1

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=lnx, x=e, x=e^2 и y=0, равна -1.

2. Для вычисления площади фигуры, ограниченной линией p=2(1-cosф), мы также можем использовать интеграл.

Сначала найдем точки пересечения линии. Линия p=2(1-cosф) пересекает ось ф в точках, где 1-cosф=0. Это происходит при ф=0 и ф=π.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя интеграл. Поскольку фигура ограничена линией p=2(1-cosф), мы будем интегрировать функцию p=2(1-cosф) от ф=0 до ф=π. Формула для вычисления площади фигуры между двумя кривыми p=f(ф) и p=g(ф) на интервале [α,β] выглядит следующим образом:

S = ∫[α,β] (f(ф) - g(ф)) dф

В данном случае, f(ф) = 2(1-cosф) и g(ф) = 0, α=0 и β=π. Таким образом, площадь фигуры будет равна:

S = ∫[0,π] (2(1-cosф) - 0) dф

Для вычисления этого интеграла, мы можем использовать формулу интеграла от косинуса:

∫(1-cosф) dф = ф - sinф + C

Применяя эту формулу, получим:

S = [ф - sinф] [0,π] = (π - sinπ) - (0 - sin0)

Так как sinπ = 0 и sin0 = 0, мы можем упростить это выражение:

S = π - 0 - 0 = π

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линией p=2(1-cosф), равна π.