Question

Найти область определения функции у=корень из(15-х-2х^2) + корень из(х^2-4)

Answer 1

$15 - x - 2 x^{2} \geq 0, x^{2} -4 \geq 0$
xv = -b/2a = 1/-4 = -0.25
a < 0 => ветки параболы вниз
$x_{1,2} = \frac{1 +- \sqrt{1+4*2*15} }{-4}$
x1 = (1 + 11)/-4 = -3
x2 = -10/-4 = 2.5
x E [-3; 2.5]

x E [-2; 2]

Второй промежуток меньше первого, поэтому ответ будет x E [-2; 2].

Answer 2

Конечно, давай разберёмся! Чтобы найти область определения функции \( y = \sqrt{15 - x - 2x^2} + \sqrt{x^2 - 4} \), нужно учесть два основных аспекта: корень из отрицательного числа и деление на ноль.

1. Корень из отрицательного числа: Первое выражение под корнем \( \sqrt{15 - x - 2x^2} \) должно быть неотрицательным: \[ 15 - x - 2x^2 \geq 0 \] Это неравенство можно решить, чтобы найти, при каких значениях \( x \) это выражение неотрицательно.

2. Деление на ноль: Второе выражение под корнем \( \sqrt{x^2 - 4} \) также должно быть неотрицательным, а знаменатель под корнем не должен быть равен нулю, так как деление на ноль невозможно: \[ x^2 - 4 \geq 0 \] и \[ x^2 - 4 \neq 0 \]

Давай решим эти неравенства по очереди.

Неравенство 1: \( 15 - x - 2x^2 \geq 0 \)

Сначала перепишем уравнение в порядке убывания степеней: \[ -2x^2 - x + 15 \geq 0 \] \[ 2x^2 + x - 15 \leq 0 \]

Теперь найдем корни квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 120}}{4} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{4} \] \[ x = \frac{-1 \pm 11}{4} \]

Итак, корни равны \( x = \frac{10}{4} = 2.5 \) и \( x = \frac{-12}{4} = -3 \).

Теперь найдем интервалы, где неравенство \( 2x^2 + x - 15 \leq 0 \) выполняется.

Интервалы: \(-\infty < x \leq -3\), \(2.5 \leq x < +\infty\).

Неравенство 2: \( x^2 - 4 \geq 0 \) и \( x^2 - 4 \neq 0 \)

\[ x^2 - 4 \geq 0 \] \[ (x - 2)(x + 2) \geq 0 \] \[ (x - 2)(x + 2) = 0 \]

Корни: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

Неравенство \( x^2 - 4 \neq 0 \) выполнится при всех значениях \( x \), кроме \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

Итоговая область определения функции

Таким образом, область определения функции \( y = \sqrt{15 - x - 2x^2} + \sqrt{x^2 - 4} \) будет интервал от \( -\infty \) до \( -3 \), и интервал от \( 2.5 \) до \( +\infty \), при условии, что \( x \) не равен \( 2 \) и не равен \( -2 \).