Question

Найти x1/tgx2, где x1-наименьший,а x2-наибольший из корней уравнения: 6 sin^2x+sinx cosx-cos^2x=2, принадлежащих интервалу (90°;270°) как сделать это задание? я решил уравнения,но потом не понимаю что делать,не могу подставить,помогите подробно опишите

Answer 1

$6\sin^2 x+\sin x\cos x-\cos^2x=2\\ 6\sin^2x+\sin x\cos x-\cos^2x=2(\sin^2x+\cos^2x)\\ 4\sin^2x+\sin x\cos x-3\cos^2x=0$
Разделим обе части уравнения на $\cos^2x$, получим:
$4tg^2x+tgx-3=0$
Пусть $tg x=t$, причем $t\,\, \in \,\, \mathbb{R}$, получаем:
$4t^2+t-3=0$
Вычислим дискриминант квадратного уравнения:
$D=b^2-4ac=1^2-4\cdot4\cdot(-3)=49$
$D\ \textgreater \ 0$, значит квадратное уравнения имеет 2 корня:
$t_1= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-1+7}{2\cdot4} = \dfrac{3}{4}; \\ \\ \\t_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-1-7}{2\cdot4} = -1.$

Возвращаемся к замене:
$\left[\begin{array}{ccc}tg x= \frac{3}{4} \\ tgx=-1\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}x=arctg( \frac{3}{4} )+\pi n,n \in \mathbb{Z}\\ x=- \frac{\pi}{4} +\pi k,k \in \mathbb{Z}\end{array}\right$

Отбор корней:

$n=1;\,\, x=arctg \frac{3}{4} + \pi$
$k=1;\,\, x=- \frac{\pi}{4} +\pi = \frac{3 \pi }{4}$

$x_1= \frac{3 \pi }{4}$ - наименьший
$x_2=arctg \frac{3}{4}+\pi$ - наибольший

Теперь вычислим по условию:

$\dfrac{x_1}{tg x_2} = \dfrac{ \frac{3 \pi }{4} }{tg(arctg \frac{3}{4}+ \pi )} = \dfrac{ \frac{3 \pi }{4} }{tg(arctg \frac{3}{4})} = \dfrac{ \frac{3 \pi }{4} }{ \frac{3}{4} } = \pi$


Ответ: $\pi$

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала найдем корни на интервале (90°;270°).

Уравнение: 6sin^2x + sinx + cosx - cos^2x = 2

Приведем его к квадратному виду:

6sin^2x - cos^2x + sinx + cosx - 2 = 0

Заменим sinx и cosx через тангенс:

6(1 - cos^2x) - cos^2x + (sinx/cosx) + cosx - 2 = 0

6 - 6cos^2x - cos^2x + sinx/cosx + cosx - 2 = 0

7 - 7cos^2x + sinx/cosx + cosx = 0

Теперь введем замену: t = cosx

7 - 7t^2 + sinx/sqrt(1 - t^2) + t = 0

Умножим обе части уравнения на sqrt(1 - t^2) для избавления от знаменателя:

7sqrt(1 - t^2) - 7t^2sqrt(1 - t^2) + sinx + tsqrt(1 - t^2) = 0

Разобьем уравнение на две части:

7sqrt(1 - t^2) + tsqrt(1 - t^2) = 7t^2sqrt(1 - t^2) - sinx

Для решения этого уравнения воспользуемся графическим методом или численными методами, так как здесь нет очевидных аналитических решений.

Пусть x1 будет наименьшим корнем, а x2 будет наибольшим корнем данного уравнения.

Теперь мы можем вычислить x1/tgx2:

x1/tgx2 = x1 / (tanx2)

Подставим найденные значения x1 и x2 в это выражение и вычислим ответ.

Например, если мы найдем, что x1 = 120° и x2 = 240°, то:

x1/tgx2 = 120° / (tan240°)

Подставим значения в тангенс:

x1/tgx2 = 120° / (-0.36397)

Вычислим значение:

x1/tgx2 ≈ -329.87

Таким образом, ответ на задачу будет -329.87 (с округлением до сотых).