Question

Решите пожалуйста определённый интеграл.заранее спасибо))))

Answer 1

$\int\limits^2_1 { \frac{2x^2+1}{x} } \, dx = \int\limits^2_1 {2x} \, dx + \int\limits^2_1 { \frac{1}{x} } \, dx = x^{2} |_{1}^{2} + lnx|_{1}^{2} = (4-1)+(ln2-0) = \\ = 3+ ln2$

$\int\limits^1_0 { \frac{x^2}{ \sqrt[3]{8-7x^3} } } \, dx$
Сделаем замену переменной:
$t^3 = 8 - 7x^3 \\ t = \sqrt[3]{8-7x^3}$
Тогда:
$-21x^2dx = 3t^2dt \\ x^2dx = \frac{-t^2dt}{7}$
Подставив значения найдем, что х от 0 до 1 это то же самое, что и t от 2 до 1.
Имеем интеграл:
$- \frac{1}{7} \int\limits^1_2 { \frac{t^2}{t} } \, dt = - \frac{t^2}{14} |_{2}^{1} = - \frac{1}{14} + \frac{4}{14} = \frac{3}{14}$