Question

Помогите пожалуйста решить 4^cos^2x+2cosx=1

Answer 1

Такой вариант задания:
$4^{ cos^{2}x+ 2cosx} =1 4^{ cos^{2}x+ 2cosx} = 4^{0}$
cos²x+2cosx=0
cosx*(cosx+2)=0
cosx=0 или cosx+2=0
1. cosx=0, x=π/2+πn, n∈Z
2. cosx+2=0, cosx=-2 решений нет

ответ: x=π/2+πn, n∈Z

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать замену переменной. Пусть t = cos^2(x), тогда уравнение примет вид:

4t + 2cos(x) - 1 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение как квадратное относительно t:

4t + 2cos(x) - 1 = 0

4t = 1 - 2cos(x)

t = (1 - 2cos(x)) / 4

Теперь заменим t обратно на cos^2(x):

cos^2(x) = (1 - 2cos(x)) / 4

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

4cos^2(x) = 1 - 2cos(x)

Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

4cos^2(x) + 2cos(x) - 1 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его с помощью дискриминанта:

D = (2)^2 - 4(4)(-1) = 4 + 16 = 20

D > 0, поэтому у нас есть два корня.

cos(x) = (-2 + √20) / (2 * 4) = (-2 + 2√5) / 8 = (√5 - 1) / 4

или

cos(x) = (-2 - √20) / (2 * 4) = (-2 - 2√5) / 8 = (-√5 - 1) / 4

Теперь найдем значения x, соответствующие этим значениям cos(x). Для этого мы можем использовать арккосинус:

x = arccos((√5 - 1) / 4) + 2πn, где n - целое число

или

x = arccos((-√5 - 1) / 4) + 2πn, где n - целое число

Таким образом, мы получили два решения уравнения 4cos^2(x) + 2cos(x) - 1 = 0.