Question

Помогите решить. дифференциальное уравнение первого порядка. найти общее решение ур-я. y'=y*cos(x)/(ln(y) + 1)

Answer 1

$\displaystyle y'=\frac{y\cos x}{\ln y+1}$
Это дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительно производной.

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y\cos x}{\ln y +1}$ - уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные
$\dfrac{(\ln y+1)dy}{y} =\cos x dx$ - уравнение с разделёнными переменными.

Проинтегрируем обе части уравнения

$\displaystyle \int\limits { \dfrac{(\ln y+1)dy}{y} } = \int\limits {\cos x dx} \\ \\ \\ \int\limits {(\ln y+1)} \, d(\ln y)= \int\limits {\cos x} \, dx$


$\dfrac{\ln^2y}{2} +\ln|y|=\sin x + C$ - общий интеграл

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения первого порядка, воспользуемся методом разделения переменных.

Перепишем уравнение в виде:

dy/dx = y * cos(x) / (ln(y) + 1)

Теперь разделим переменные, переместив все выражения, содержащие y, на одну сторону уравнения, а все выражения, содержащие x, на другую сторону:

(ln(y) + 1) dy = y * cos(x) dx

Затем интегрируем обе части уравнения. Для левой части уравнения воспользуемся методом замены переменной. Проведем замену:

u = ln(y) + 1

Тогда дифференциал dy можно выразить через дифференциал du:

dy = (du - dx) / u

Подставим это в уравнение:

u * (du - dx) = y * cos(x) dx

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫ u * du - ∫ dx = ∫ y * cos(x) dx

(1/2) * u^2 - x = ∫ y * cos(x) dx

(1/2) * (ln(y) + 1)^2 - x = ∫ y * cos(x) dx

Обозначим ∫ y * cos(x) dx = F(x, y)

Теперь имеем:

(1/2) * (ln(y) + 1)^2 - x = F(x, y)

Выражение (1/2) * (ln(y) + 1)^2 - x = C, где C - произвольная постоянная, представляет собой общее решение данного дифференциального уравнения.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения y' = y * cos(x) / (ln(y) + 1) имеет вид:

(1/2) * (ln(y) + 1)^2 - x = C

где C - произвольная постоянная.